Выяснить является-ли преобразование линейным

[tremor]

....И найти его матрицу в том же базисе

Преобразование:
$\varphi\mathbf{x} = (x_2+x_3,2x_1+x_3,3x_1-x_2+x_3)$

Подскажите пожалуйста технику решения, я помню, что наш преподаватель брал стандартный базис $e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)$

И действовал преобразованием на каждый базисный вектор по отдельности, но я уже битый час не могу вспомнить как это правильно делать

[svv]

tremor в сообщении #1223416 писал(а):

И действовал преобразованием на каждый базисный вектор по отдельности

То есть преподаватель пользовался тем, что
$\varphi(\mathbf x) = x_1\varphi(\mathbf e_1)+x_2\varphi(\mathbf e_2)+x_3\varphi(\mathbf e_3)$
А чтобы это выполнялось, надо, чтобы преобразование $\varphi$ было ... каким?

[iou]

У вас же написана формула, как это делать.
Вектор $x$ однозначно представляется в виде суммы базисных векторов, поэтому для них достаточно проверить (если вы знаете, что преобразование линейное). Линейность нужно честно проверить:
$\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$ и $\varphi(\alpha x)=\alpha\varphi(x)$, где $x, ~y$ вектора и $\alpha$ элемент поля.
Раскройте левую часть по той формуле, которая у вас есть, а потом правую.
Чтобы ответить на вопрос про матрицу, нужно знать: а чем являются столбцы матрицы оператора в базисе $e_1, ~e_2, ~e_3$?

[tremor]

svv в сообщении #1223426 писал(а):

tremor в сообщении #1223416 писал(а):

И действовал преобразованием на каждый базисный вектор по отдельности

То есть преподаватель пользовался тем, что
$\varphi(\mathbf x) = x_1\varphi(\mathbf e_1)+x_2\varphi(\mathbf e_2)+x_3\varphi(\mathbf e_3)$
А чтобы это выполнялось, надо, чтобы преобразование $\varphi$ было ... каким?

Линейным?

Меня больше смущает как действовать преобразованием на каждый вектор, чтобы получить матрицу

[svv]

Да. Поэтому, пока не выясните, линейное оно или нет — действовать на каждый базисный вектор в отдельности бессмысленно. Для нелинейных не выполняется формула, которую я написал.

tremor в сообщении #1223429 писал(а):

Меня больше смущает как действовать преобразованием на каждый вектор, чтобы получить матрицу

Чтобы подействовать преобразованием на базисный вектор $\mathbf e_1$, надо в формулу
$\varphi\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_2+x_3\\2x_1+x_3\\3x_1-x_2+x_3\end{pmatrix}$
(так, в столбик, точнее) подставить координаты этого базисного вектора.

[tremor]

svv в сообщении #1223431 писал(а):

Да. Поэтому, пока не выясните, линейное оно или нет — действовать на каждый базисный вектор в отдельности бессмысленно. Для нелинейных не выполняется формула, которую я написал.

tremor в сообщении #1223429 писал(а):

Меня больше смущает как действовать преобразованием на каждый вектор, чтобы получить матрицу

Чтобы подействовать преобразованием на базисный вектор $\mathbf e_1$, надо в формулу
$\varphi\mathbf{x} = \begin{pmatrix}x_2+x_3\\2x_1+x_3\\3x_1-x_2+x_3\end{pmatrix}$
(так, в столбик, точнее) подставить координаты этого базисного вектора.

Что-то качественно меня клинит однако, поэтому прошу показать как выглядит матрица после подстановки координат, не уверен что думаю правильно

[svv]

Если я напишу, я нарушу правила форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.