Движение заряда в электрополе

[Stensen]

Еще раз всем доброго времени суток. Задача: Два шарика с зарядами $ Q = -1 $ и $ q =+5 $ нКл соответственно, находятся в однородном электрическом поле с напряженностью $ E $ на расстоянии $ R $ друг от друга. Масса большего шарика равна $ M $ Определить, какую массу должен иметь маленький шарик, чтобы они двигались с прежним между ними расстоянием и с постоянным по модулю ускорением.



Решение.
На шарики действует электрическое поле и сила кулоновского взаимного притяжения шаров. Запишем для них второй закон Ньютона в проекции на ось $OX$:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} Ma= E \left\lvert Q \right\rvert - \frac{k \left\lvert Q \left\lvert \right\rvert q \right\rvert}{R^2}\\ \\ ma = - E \left\lvert q \right\rvert + \frac{k \left\lvert Q \left\lvert \right\rvert q \right\rvert}{R^2} \\ \end{array} \right.$$

.

Автор пишет по другому:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} Ma= E Q - \frac{k Q q}{R^2}\\ \\ ma = Eq + \frac{k Q q}{R^2} \\ \end{array} \right.$$

. Заряды подставляет со своими знаками и результаты получаются различные в первом и втором случаях. Подскажите, где я ошибаюсь?

[svv]

Если шарики расположены так, как на рисунке, то $E>0$, иначе для каждого шарика равнодействующая будет направлена к другому шарику, они устремятся друг к другу, и расстояние точно не будет сохраняться.

Возьмём в Вашем первом уравнении слагаемое $E|Q|$. Это проекция силы, с которой на заряд $Q$ действует внешнее поле. Оба множителя положительные, значит, и проекция силы положительная. А на картинке она направлена в сторону, противоположную $E$ (что правильно). В чём дело?

[EUgeneUS]

Stensen
Скажите, пожалуйста, Вы такого фрика, Катющика, не слушали? Если нет, то откуда такая идиосинкразия к отрицательным числам?

Запишите уравнения без использования модулей, полагая заряды положительными, и Вы автоматом получите уравнения, работающие для любой комбинации знаков. Что и сделал автор задачи.

Запишите уравнения, затащив заряды в модули, и Вы получите уравнения, работающие только для одной комбинации знаков, и обязательно запутаетесь в плюсах и минусах, что Вы с успехом и проделали.

[Stensen]

EUgeneUS в сообщении #1223531 писал(а):

Stensen
Откуда такая идиосинкразия к отрицательным числам?

Минус - он есть убыток, а прибыток всегда организму приятней.

EUgeneUS в сообщении #1223531 писал(а):

Stensen Запишите уравнения без использования модулей, полагая заряды положительными, и Вы автоматом получите уравнения, работающие для любой комбинации знаков. Что и сделал автор задачи.

Вот этих знаков я и не понял. Почему если полагать заряды положительными, у автора в уравнении для шара $M$ справа второе слагаемое с минусом: $Ma= E Q - \frac{k Q q}{R^2}$ , а в уравнении для шара $m$ справа второе слагаемое с плюсом: $ma = Eq + \frac{k Q q}{R^2}$? По-моему должно быть наоборот. Поясните пожалуйста?

svv в сообщении #1223434 писал(а):

Возьмём в Вашем первом уравнении слагаемое $E|Q|$. Это проекция силы, с которой на заряд $Q$ действует внешнее поле. Оба множителя положительные, значит, и проекция силы положительная. А на картинке она направлена в сторону, противоположную $E$ (что правильно). В чём дело?

В том-то и дело, что у себя я не вижу противоречий. Я направил ось $OX$ влево и отрицательная сила стала положительной, а положительная отрицательной. Я это учел при расстановке знаков согласно $OX $. Теперь страдаю.

[rustot]

Напишите уж тогда векторно чтобы не ошибаться

$\vec{F_1} = q_1 \vec{E} + q_1 q_2 \frac{\vec{r_1}-\vec{r_2}}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^3}$

А уже потом для одномерного случая замените все $\vec{n}$ на $\hat{x}n$ либо $-\hat{x} n$ в зависимости от того сонаправлен данный вектор с единичным $\hat{x}$ или нет

$\hat{x} F_1 = q_1 \hat{x} (-E) + q_1 q_2 \hat{x} \frac{x_1 - x_2}{|x_1-x_2|^3}$

[svv]

Stensen в сообщении #1223559 писал(а):

Я направил ось $OX$ влево

Извините, я только сейчас обратил внимание. Я думал, вправо.
Но и в этом случае $Ma=EQ+...$, а не $Ma=-EQ+...$.

[Munin]

Stensen в сообщении #1223559 писал(а):

Минус - он есть убыток, а прибыток всегда организму приятней.

Отучитесь от этого. Считайте, что каждая буква - это элемент $\mathbb{R},$ может быть как положительной, так и отрицательной. И тренируйтесь в этом. Тогда ваши выкладки будут верны, какие бы значения туда ни подставить.

rustot в сообщении #1223568 писал(а):

А уже потом для одномерного случая замените все $\vec{n}$ на $\hat{x}n$ либо $-\hat{x} n$ в зависимости от того сонаправлен данный вектор с единичным $\hat{x}$ или нет

"По-школьному" проще объяснить так: возьмём проекцию векторного равенства на ось $Ox,$ и получим

$F_{1x}=q_1 E_x+q_1 q_2 \dfrac{x_1-x_2}{|x_1-x_2|^3}.$

[EUgeneUS]

Stensen в сообщении #1223559 писал(а):

Я направил ось $OX$ влево и отрицательная сила стала положительной, а положительная отрицательной.

Направить ось вдоль постоянной и равномерной напряженности электрического поля - это естественно. Направить ось в противоположную сторону - противоестественно.
И не сила поменяла знак, а её проекция.

svv в сообщении #1223585 писал(а):

Но и в этом случае $Ma=EQ+...$, а не $Ma=-EQ+...$

С таким, как у ТС, выбором направления оси надо не забыть, когда значения будем подставлять, что значение проекции E будет таки отрицательным.

[Cos(x-pi/2)]

Попробовал я тоже проверить решение "автора" и Stensen, и вот к какому я пришёл (если не ошибся :) ответу на вопрос

Stensen в сообщении #1223409 писал(а):

...результаты получаются различные в первом и втором случаях. Подскажите, где я ошибаюсь?

Вроде, вот тут и ошибаетесь; для $m$ одинаковые ответы получаются по вашим формулам и по формулам "автора".

[Munin]

А у меня такая мысль по решению задачи.
1). Мысленно объединим шарики в систему. Тогда мы знаем суммарный заряд, можем определить суммарную силу на систему, и вычислить, что она движется с неким ускорением. Это будет одно уравнение.
2) Рассматривая шарики по отдельности, можно считать, что их центр масс движется с ускорением, дефинированным в п. (1), и искать уже ускорение относительно друг друга, и писать условие, чтобы оно было равно 0. Это будет другое уравнение.

[Cos(x-pi/2)]

Вроде, тут вообще детская задача: из уравнения Ньютона для шара с массой $m$ выписываем равенство $m=\frac{\text{сила}}{a},$ и подставляем сюда ускорение $a=\frac{\text{другая сила}}{M}$ из другого уравнения Ньютона, для шара с массой $M.$ Ведь в условии задачи сказано, что ускорения шаров должны быть всё время одинаковыми и расcтояние $R$ должно быть постоянным. (Тогда так и будет, если ещё и начальные скорости шаров были одинаковыми).

-- 09.06.2017, 14:59 --

P. S. Хотя, надо ещё проверить, получится ли в этом случае $m>0.$ Может быть, тут какая-то засада есть)).

[Stensen]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1223656 писал(а):

Stensen в сообщении #1223409 писал(а):

...результаты получаются различные в первом и втором случаях. Подскажите, где я ошибаюсь?

...одинаковые ответы получаются по вашим формулам и по формулам "автора".

Наверно ошибся, перепроверю. Просто подумал, что если проекции всех сил расписать по 2-му Ньютону (направления их здесь очевидны), то можно забыть про электростатику и дальше решать как Динамику, так видимо тоже сработает, как писал:

EUgeneUS в сообщении #1223531 писал(а):

Запишите уравнения без использования модулей, полагая заряды положительными, и Вы автоматом получите уравнения, работающие для любой комбинации знаков. Что и сделал автор задачи.
Запишите уравнения, затащив заряды в модули, и Вы получите уравнения, работающие только для одной комбинации знаков, и обязательно запутаетесь в плюсах и минусах, что Вы с успехом и проделали.

B общем буду решать через векторы

rustot в сообщении #1223568 писал(а):

Напишите уж тогда векторно чтобы не ошибаться $\vec{F_1} = q_1 \vec{E} + q_1 q_2 \frac{\vec{r_1}-\vec{r_2}}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|^3}$

Munin в сообщении #1223615 писал(а):

"По-школьному" проще объяснить так: возьмём проекцию векторного равенства на ось $Ox,$ и получим

$F_{1x}=q_1 E_x+q_1 q_2 \dfrac{x_1-x_2}{|x_1-x_2|^3}.$

Так понятно. В общем вроде разобрался. Всем спасибо.

[Cos(x-pi/2)]

Stensen в сообщении #1223559 писал(а):

Почему если полагать заряды положительными, у автора в уравнении для шара $M$ справа второе слагаемое с минусом: $Ma= E Q - \frac{k Q q}{R^2}$ , а в уравнении для шара $m$ справа второе слагаемое с плюсом: $ma = Eq + \frac{k Q q}{R^2}$?

Во-первых, не "положительными", а "со своими знаками". Во-вторых:

Автор выбрал направление оси $OX$ направо. Посмотрите теперь на ваш рисунок, направления векторов сил у Вас там правильно нарисованы. Вы увидите тогда, что проекция силы притяжения, действующей на шар $M,$ у автора должна быть положительным числом, потому что направление этой силы совпадает с направлением $OX$ у автора (направо). Значит, в записи с модулями зарядов эта проеция у автора была бы $+k|Q||q|/R^2.$ Для перехода к записи зарядов с их знаками подставьте здесь $|Q|=-Q$ (поскольку $Q<0)$ и $|q|=q$ (поскольку $q>0).$ Вот и получилось для шара $M$ то, что у автора.

Аналогично получается и $-k|Q||q|/R^2=+kQq/R^2<0$ для шара $m$ у автора: эта проекция силы у автора является отрицательным числом, т.к. вектор этой силы направлен налево, т.е. против оси $OX$ у автора.

-- 09.06.2017, 16:41 --

Ответ для массы $m,$ конечно, не должен зависеть от выбора направления осей координат, и от того, выражаем мы заряды через их модули или пишем со своими знаками. Он и не зависит. Если в ответе автора перейти к записи через модули зарядов (согласно тем же формулам $|Q|=-Q,\, |q|=q),$ то получим:

$m=\frac{Eq+kQq/R^2}{EQ-kQq/R^2}M=\frac{E|q|-k|Q||q|/R^2}{-E|Q|+k|Q||q|/R^2}M \, .$

А из ваших уравнений Ньютона получается:

$m=\frac{-E|q|+k|Q||q|/R^2}{E|Q|-k|Q||q|/R^2} M\, .$

Так ведь это то же самое. Если умножить числитель и знаменатель на $-1$ (значение $m$ от этого не изменится), то получается полное совпадение.

(Оффтоп)

ух, одолел таки егешную задачу

[Stensen]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1223692 писал(а):

Так ведь это то же самое. Если умножить числитель и знаменатель на $-1$ (значение $m$ от этого не изменится), то получается полное совпадение.

Спасибо, перепроверил, сошлось.