Почти сумма Гаусса

[sergei1961]

Доказать, что

$$ \sum_{k=0}^{n-1} z^{k(k-1)} $$

делится (содержит множитель) $(1+z^{2m})$ при $n=4m, n,m\in\mathbb{N}.$
Это похоже на сумму Гаусса с чистыми квадратами, но не совсем она. Ищётся элементарное простое доказательство.

[v_n]

Надо обьединить в пары. $z^{k(k-1)}+z^{(2m+k)(2m+k-1)}=z^{k(k-1)}(1+z^{2m(2m+2k-1)})$. То что в скобках очевидно делится на $(1+z^{2m})$

[sergei1961]

v_n - спасибо!