Изоморфизм произвольного конечного частичного порядка в R^n

[fractalon]

Для $x,y \in {\mathbb R}^n$ определим "естественный" частичный порядок как $x \prec y \iff \left( \forall i:\ x_i \le y_i \right) \land \left( \exists j:\ x_i < y_j \right)$.
Произвольное конечное частично упорядоченное множество $A$ будем называть уложимым в ${\mathbb R}^n$ если существует изоморфизм $f:A \to {\mathbb R}^n$ такой, что $\forall a,b \in A:\ a \prec b \iff f(a) \prec f(b)$ (конечно, $\prec$ в левой части - это заданный порядок на множестве $A$, а в правой - определённый "естественный порядок").

Я задумался о том, насколько маленьким может быть множество $A$ чтобы оно гарантированно было уложимо в ${\mathbb R}^n$.
Контрпример с $|A|=2n+2$ для ${\mathbb R}^n$ строится относительно легко - это множество $A=\left\lbrace {a_1, \dots, a_{n+1}, b_1, \dots, b_{n+1}} \right\rbrace$, где $a_i \prec b_j \iff i \not = j$, а остальные пары элементов между собой не сравнимы.
Таким образом, нижняя граница требуемой размерности - $\frac{|A|}{2}$ (верхней границей легко получить $|A|$ - просто взять ортогональный базис и перенести в каждую вершину координаты из всех вершин, которые меньше неё).

Возникает вопрос, нижняя ли это граница. То есть: верно ли, что если $|A| \le 2n+1$, то его частичный порядок уложим в ${\mathbb R}^n$?

Пытался доказать по индукции, обобщая очевидное индукционное доказательство для размерности $|A|$ - то есть добавляя по две точки в множество и "растягивая его по третьей координате". Пытался добавлять две максимальные точки, пытался максимальную и минимальную, в обоих случаях деля предыдущее множество на четыре части по достижимости из двух новых элементов - никак общим образом не решается, возникают конфликты и зацикливания.

Кому интересно, давайте думать вместе.

[vpb]

Во-первых, у Вас определение порядка странно выглядит, наверное в формуле $(\exists j: x_i<y_j)$ должно быть $x_j$, а не $x_i$. Во-вторых, слово "изоморфизм" тут не подходит, лучше писать "инъективное отображение"; а "изоморфизм" поразумевает биекцию. (но раньше, кстати, под изоморфизмом понимали любое вложение (инъекцию). Нынче же терминология изменилась). В третьих, ответ на вопрос, думаю, хорошо известен, посмотрите Айгнер "Комбинаторная теория", только не помню в каком именно месте. В четвертых, думать вместе вряд ли получится, но на такие случаи есть общий прием исследования: не пытаться сразу разрешить общий случай, а последовательно разбирать случаи $n=1$, $n=2$, $n=3$, $n=4$, и так далее, и в ходе этого заметите какую-нибудь общую закономерность (так всегда поступают, когда условие задачи зависит от одного или нескольких натуральных параметров).

[iifat]

vpb в сообщении #1222420 писал(а):

насколько маленьким может быть множество $A$ чтобы оно гарантированно было уложимо в ${\mathbb R}^n$

Не понял вопроса. Ну, возьмите пустое множество $A$ — оно уложимо в любое ${\mathbb R}^n$, а меньше-то и некуда. Насколько большим, может?

[fractalon]

iifat в сообщении #1222426 писал(а):

Насколько большим, может?

Да, насколько большим.

vpb в сообщении #1222420 писал(а):

не пытаться сразу разрешить общий случай, а последовательно разбирать случаи

Тут в каждом частном случае надо было бы перечислять частичные порядки, что само по себе уже нетривиально...
Айгнера изучу, спасибо.