Коммутатор левоинвариантных векторных полей

[george66]

Отрывок из книги Новиков, Тайманов "Современные геометрические структуры и поля" (можно кликать)



Пытаюсь проверить формулы для коммутаторов вычислением и получаю наоборот

$[R_X,R_Y]=R_{[X,Y]}$
$[L_X,L_Y]=-L_{[X,Y]}$

Это кажется естественным, потому что умножение $A$ справа на $X$ (в определении $L_X$) это примерно "умножение слева на $X^T$", если $A$ записать как вектор-столбец высоты $n^2$, а дальше

$[X^T,Y^T]=-[X,Y]^T$
Вопрос: вычислял ли кто-нибудь и что получилось?

[пианист]

Да вроде все так.
$X_A = a^i_jx^j\frac{\partial}{\partial x^i}, X_B=b^i_jx^j\frac{\partial}{\partial x^i}$
$[X_A,X_B] = (b^i_j a^j_k x^k - a^i_j b^j_k x^k)\frac{\partial}{\partial x^i} = X_{[B,A]}$
"Переворачивается".

[george66]

Ага, я понял, почему там минус! (в определении линейных полей $T_A(x)=-Ax$)
Если взять без минуса $T_A(x)=Ax$, коммутатор будет с минусом
$[T_A,T_B]=-T_{[A,B]}$
Я как-то по умолчанию думал "если оба поля умножить на минус, ничего не изменится, минус на минус даёт плюс". А не тут то было! Спасибо.

[пианист]

Ну да. А если не $x^i$, а $x_i$, то матрицы будут умножаться в правильном порядке.