Вычисление неберущихся интегралов.

[killerter]

Здравствуйте, сегодня при сдаче экзамена по математическому анализу, лектор попросил вычислить следующие определенные интегралы точно, я понятия не имею как это сделать, разве что считать напрямую интегральные суммы. $\int\limits_{\pi/3}^{\pi/6}\frac{\ xdx}{\sin(2x)}$ $\int\limits_{\ 1}^{\ 3}\frac{\ \log_{e}(x) dx}{\ x^2+3}$ $\int\limits_{\ 1/\sqrt{2}}^{\ \sqrt{2}}\frac{\ \log_{e}(x) dx}{\ \sqrt{x(x^2+1)}}$ Заранее спасибо.

[ИСН]

Да никак это систематически не сделать, забудьте. Интегральные суммы руками считать тоже бесполезно. Каждый такой интеграл решается хитрым, уникальным приёмом. Его надо изобрести.
Вот, например, второй:

$$I=\int\limits_1^3\frac{\ln x dx}{x^2+3}\stackrel{\tiny x=3/t}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}\int\limits_3^1\frac{(\ln3-\ln t) (-3dt/t^2)}{9/t^2+3}=\int\limits_1^3\frac{(\ln3-\ln t) dt}{3+t^2}$$

теперь складываем это с оригиналом

$$2I=\int\limits_1^3\frac{\ln x dx}{x^2+3}+\int\limits_1^3\frac{(\ln3 -\ln x) dx}{x^2+3}=\ln3\int\limits_1^3\frac{dx}{x^2+3}=\dots$$

а это уже берётся обычным порядком.
Остальные как-то в этом же роде, наверное.

[DeBill]

killerter
Попробуйте, как и во втором, использовать симметрии промежутков интегрирования, типа, в первом:$x \to \frac{\pi}{2} -x$, во третьем $x \to \frac{1}{x}$

[killerter]

Спасибо большое, все получилось!