Гармонические функции

[loop]

Задачка на гармонические функции
Пусть
$ \Omega \in \mathbb{R}^2, \; D = \mathbb{R}^2 \textbackslash \Omega, \; u \in C^2(D) \cap C(\overline{D}) \cap L_{\infty}(D), \; \Delta u = 0 \; \text{в}\; D $
Доказать, что существует $\lim\limits_{|x| \to + \infty} u(x)$
Найти этот предел, когда $\Omega = B_1(0)$ и $\int\limits_{|x| = 1} u(x) ds = 0$

Прокомментируйте решение:
Так как функция из $L_{\infty}(D)$, $\sup\limits_{x \in D}{|u(x)|}$ конечен, а значит $|u(x)|$ ограничен на $D$. Тогда, по теореме Лиувилля $u$ это константа (? на применимость теоремы Лиувилля ведь не влияет вырезанный ограниченный кусок?) Тогда предел, очевидно, существует.
Чтобы найти предел, сделаем замену $z = \frac{1}{x}$ (рассматривая x и z как комплексные). Тогда область $D$ перейдет в шар $B_1(0)\;$, $\int\limits_{|z|=1} v(z) ds = 0$ и по теореме о среднем по сфере $v(0) = 0 = u(+ \infty)$

[Padawan]

loop в сообщении #1220931 писал(а):

на применимость теоремы Лиувилля ведь не влияет вырезанный ограниченный кусок?

Влияет. Решение внешней задачи Дирихле не константа, если граничные условия не константные.
Надо сделать преобразование Кельвина (инверсию относительно окружности), оно переводит гармоинические функции в гармонические.

[loop]

Padawan в сообщении #1220952 писал(а):

Влияет. Решение внешней задачи Дирихле не константа, если граничные условия не константные.
Надо сделать преобразование Кельвина (инверсию относительно окружности), оно переводит гармоинические функции в гармонические.

Так правильно?

Воспользуемся преобразованием Кельвина относительно единичной окружности:
$\widetilde{x} = \frac{1}{|x|^2} x$. Это преобразование переводит $D$ в $\widetilde{D} =\Omega \textbackslash \{0\}$, $u(x)$ в $\widetilde{u}(\widetilde{x}) = u\left( x(\widetilde{x}) \right)$,
заметим, что при $|x| \to \infty ,\; |\widetilde{x}| \to 0$; при $|x| = 1,\; |\widetilde{x}| = 1$.

Так как преобразование Кельвина конформно (инверсия), $\widetilde{u}$ - гармоническая.
Также $\widetilde{u}(\widetilde{x})$ ограничена на $\Omega$ как функция из$L_{\infty}(\Omega)$.

Тогда по теореме об устранимой особенности $\exists \lim\limits_{\widetilde{x}\to 0} \widetilde{u}(\widetilde{x}) =\lim\limits_{|x|\to \infty} u(x)$, $\widetilde{u}(\widetilde{x})$ может быть доопределена этим пределом в $0$ и будет гармонической во всей области $\Omega$.
Применяя теорему о среднем по сфере, получим:
$\widetilde{u}(0) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{|\widetilde{x}| = 1} \widetilde{u}(\widetilde{x})ds = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{|x| = 1} u(x)ds =0$.
Это и будет искомый предел.

В случае произвольной области $\Omega$ сделаем предварительно масштабирование
так, чтобы образ $\Omega' \Subset B_1(0)$. Гомотетия также является конформным отображением и
сохраняет гармоничность.