дилемма: решение неравенств с модулем

[muinova-nirvana]

Нашла два различных подхода к решению неравенств с модулем в общем виде:
1) http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=798778
В неравенствах с правой частью g(x) исследуется знак функции

2) https://egemaximum.ru/modul/
Гораздо более простой вид, знак правой части вообще не фигурирует.

Меня учили по первому варианту. На примерах пыталась подобрать такие
неравенства, чтобы не работал второй способ, не получилось.
Собственно, вопрос: равносильны ли эти способы, и если да,
то зачем первый, если он более громоздкий?

[Dan B-Yallay]

В первом варианте подробно расписаны возможные случаи, поэтому и выглядит более громоздко. Кроме того, во втором варианте (для упрощения) подразумевается, что правая часть положительна, хотя почему-то явно об этом не говорится.

[arseniiv]

Да там и с неположительной всё прекрасно.

[Dan B-Yallay]

arseniiv в сообщении #1220308 писал(а):

Да там и с неположительной всё прекрасно.

Ну не знаю... смотрим например на это:

https://egemaximum.ru/modul/ писал(а):

$\color{blue}|f(x)|< g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x)<g(x),& & f(x)> -g(x); \end{cases}$

$$\begin{align*}f(x) \equiv -100, & \qquad g(x) \equiv -10 \\ - 100 < -10 & \Leftrightarrow |-100| < -10 \\ ??\end{align*}$$

[mihaild]

Dan B-Yallay, куда у вас модуль слева делся?
$|-100| < -10 \Leftrightarrow \begin{cases}-100 < -10, & & -100 > 10; \end{cases}$

[arseniiv]

Dan B-Yallay
$-100 = f < g = -10$ выполняется, но $-100 = f > -g = 10$ не выполняется, $|-100| = |f| < g = -10$ тоже не выполняется, противоречий нет.

-- Ср май 31, 2017 02:32:04 --

По теме, вообще, конечно, все эти правила надо уметь выводить, и эквивалентность доказывать, и всё будет просто и ясно. Правда, я сел выводить и застрял в кванторах.

[Dan B-Yallay]

mihaild в сообщении #1220311 писал(а):

куда у вас модуль слева делся?

Он зачем-то по недосмотру перекочевал вправо, но это вроде не принципиально. С одной стороны имеем истину: $-100 < -10$, а с другой враньё, отрицательный модуль.

[arseniiv]

Dan B-Yallay в сообщении #1220316 писал(а):

Справа имеем истину: $-100 < -10$

Фигурная скобка означает конъюнкцию же.

[Dan B-Yallay]

Да? Я думал, что фигурная скобка обозначает варианты, то есть выполняется либо тот, либо другой. Навроде:

$$|x| = \begin{cases}x, \ x\geqslant 0 \\ -x, \ x<0 \end{cases}$$

[arseniiv]

Не, дизъюнкцию обозначает квадратная («совокупность»). Тут тоже, как говорил недавно ewert, есть элемент конъюнкции. В самом деле,

$$ |x| = \begin{cases}x, & x\geqslant0 \\ -x, & x<0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} |x| = x &\Leftarrow x\geqslant0 \\ |x|=-x &\Leftarrow x<0 \end{cases}$$

-- Ср май 31, 2017 02:44:29 --

arseniiv в сообщении #1220320 писал(а):

Тут тоже

Забыл дописать, что формально это другая запись: кусочное задание величины, а не конъюнкция утверждений.

[muinova-nirvana]

Dan B-Yallay в сообщении #1220318 писал(а):

Да? Я думал, что фигурная скобка обозначает варианты, то есть выполняется либо тот, либо другой. Навроде:

$$|x| = \begin{cases}x, \ x\geqslant 0 \\ -x, \ x<0 \end{cases}$$

Это уже не система неравенств, это варианты выбора. Правда, перегрузка оператора --
неудобная штука?

[Dan B-Yallay]

А, ну если действительно коньюнкция, тогда да. Тогда я ошибся.

-- Вт май 30, 2017 15:50:00 --

muinova-nirvana в сообщении #1220321 писал(а):

Правда, перегрузка оператора --
неудобная штука?

Да, вот я как раз служу конкретным примером.

[gefest_md]

muinova-nirvana в сообщении #1220301 писал(а):

В неравенствах с правой частью g(x) исследуется знак функции

Поэтому второй способ лучше. Но и на том сайте в примере 3 ответ написан так: $\{\varnothing\}$.