Глупый вопрос про фрактальные размерности конечных объектов

[madschumacher]

Добрый день.

Извиняюсь за очередной глупый вопрос : можно ли считать фрактальные размерности у конечных объектов (типа каких-нибудь конечных графов, симплексов, полиэдров и т.д.)?
И имеет ли это какой-то смысл?
Ну и также, можно ли вычислять нечто подобное (т.е. фрактальную размерность) для симметричных действительных, невырожденных матриц конечной размерности?

P.S. ещё раз извиняюсь за очередную глупость...

[Red_Herring]

Во-первых существуют несколько определений фрактальной размерности.

Но если говорить о "конечном" объекте, то они все совпадают с самой обычной размерностью. Впрочем, иначе и быть не может.

[madschumacher]

Ну меня бы вполне устроила любая из них.
Просто я не очень понимаю, например, как посчитать размерность Минковского или Хаусдорфа для какого-нибудь икосаэдра, или симплекса.

[Vince Diesel]

Возможно, понятие сложности подойдет? По Колмогорову, скажем. Применительно к одному объекту тоже смысла немного, но если есть последовательность объектов, зависящая от $n$ (числа вершин, размера матрицы), то из асимптотики этой сложности можно в каких-то случаях приписывать некое число данной последовательности объектов. Скажем, если сложность растет как $n^3$, примем "размерность" равной 3

[Red_Herring]

madschumacher в сообщении #1220070 писал(а):

Просто я не очень понимаю, например, как посчитать размерность Минковского или Хаусдорфа для какого-нибудь икосаэдра, или симплекса.

Так она равна самой обычной размерности в данном случае: у точки 0, у графа 1, у многоугольника 2, и т.д.

[Pphantom]

madschumacher в сообщении #1220063 писал(а):

Извиняюсь за очередной глупый вопрос : можно ли считать фрактальные размерности у конечных объектов (типа каких-нибудь конечных графов, симплексов, полиэдров и т.д.)?

Формально - нет (вернее, считать-то можно, но ничего интересного не получится).

madschumacher в сообщении #1220063 писал(а):

И имеет ли это какой-то смысл?

Тем не менее имеет (не у симплексов, конечно), но только не чисто математический, а скорее прикладной. Множество может быть устроено "как фрактал" в некотором диапазоне масштабов, и значение размерности для этого диапазона может быть содержательной характеристикой.

[madschumacher]

Спасибо Всем большое за ответы.

[Евгений Машеров]

Одно время было модно считать фрактальные характеристики (показатели Ляпунова, размерность и т.п.) для электроэнцефалограмм. Которые "дважды конечны" - потому, что представляют конечный отрезок времени, и его не продлить, поскольку изменится состояние объекта, и потому, что измерялись прибором с конечной точностью (АЦП имеет фиксированное число разрядов). Особых прорывов не видел.

[ozheredov]

Евгений Машеров

Во многих статьях видел применение фрактальных характеристик для поиска точек перелома (разладки) случайных процессов. Просветите меня пожалуйста: есть ли в этом смысл? Имеется ли преимущество на ваш взгляд по сравнению с "обычными" стат. методами поиска точек перелома?

[Евгений Машеров]

Сомневаюсь. Хотя утверждать, что работать нигде и никогда не будет - не вправе. Наверно, можно попытаться, авось заработает. Вообще же - когда у нас начали пропагандировать расчёт фрактальной размерности, как инструмент анализа ЭЭГ, я смоделировал очень простой сигнал, как сумму узкополосных случайных разной амплитуды. Расчётная программа выдавала "дробные размерности" просто потому, что амплитуда одного компонента была велика сравнительно с другой. Разумеется, на бесконечном отрезке это различилось бы, но я брал реально используемые для анализа длины сигналов. То есть что-то она выявляла бы, но:
1. Полученные значения на конечных по длине отрезках не обязательно докажут хаотическое поведение.
2. Индикатор, который заметит различия, может быть существенно проще.
Но, возможно, правильный ответ "трясти надо", авось банан и упадёт...

[ozheredov]

Евгений Машеров
Ясно, спасибо большое!