Кратные интегралы (найти объем)

[djem]

Всем привет!
Такая задача:
Нужно найти обьем фигуры образованной следующими:
$ (\frac{x}{a}+\frac{y}{b})^2+\frac{z^2}{c^2}=1$

$ (\frac{x}{a}+\frac{y}{b})^2 = \frac{x}{a} $

$ x>0, y>0 $

Делаю замену:
$x=ar\cdot\cos^2(\varphi)$

$y=br\cdot\sin^2(\varphi)$

$V=4\cdot\int\limits_{0}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{0}^{\cos^2(\varphi)}2abcr\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi)\cdot\sqrt{1-r^2}\,dr$

В результате получается какой-то подозрительно непростой интеграл (берущийся, но непростой) и поэтому появились сомнения, все ли я делаю правильно)
Подскажите, верный ли у меня интеграл для определения объема?

[Sinoid]

djem в сообщении #1219688 писал(а):

$V=4\cdot\int\limits_{0}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{0}^{\cos^2(\varphi)}2abcr\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi)\cdot\sqrt{1-r^2}$

А почему умножаем на 4-то? И где дифференциал второй переменной?

[djem]

Потому что фигура состоит из 4 одинаковых частей, разве нет? Дифференциал добавлен.

[mihiv]

djem в сообщении #1219858 писал(а):

Потому что фигура состоит из 4 одинаковых частей

$ (\frac{x}{a}+\frac{y}{b})^2 = \frac{x}{a}. $ Из этого уравнения следует, что всегда $x>0$

[djem]

Вы правы - четверки нет. Просто рассматривается 1 четверть.

[Sinoid]

djem в сообщении #1219885 писал(а):

Вы правы - четверки нет. Просто рассматривается 1 четверть.

И какой тогда коэффициент?

[djem]

Чувствую себя как на экзамене
Двойка перед интегралом стоит. Верно?

[Sinoid]

Да.

[mihiv]

А дальше интеграл по $r$ очень простой, да и по $\varphi $ несложный.

[djem]

Не могу согласиться, что интеграл:
$\int\limits_{0}^{\pi/2}(1-\cos^{4}(\varphi))^{3/2}\cdot\sin(\varphi)\cos(\varphi)d\varphi$
является простым. Но мне он понравился и в итоге получился вот такой ответ:
$abc(\frac{1}{3}+\frac{\pi}{16})$

[mihiv]

$t=\cos ^2\varphi , dt=-2\sin \varphi \cos \varphi d\varphi $

[ewert]

djem в сообщении #1220021 писал(а):

$abc(\frac{1}{3}+\frac{\pi}{16})$

Если считать интеграл в уме, то получается три пи на шестнадцать тридцать два; и уж точно к пи ничего прибавляться не может.

[djem]

Почему не может! Я пишу про итоговый ответ! А интеграл, который указан выше равен как вы верно заметили три пи на 32...Вы посчитайте интеграл, тогда вам станет ясно откуда берется сумма)

[ewert]

djem в сообщении #1220032 писал(а):

Вы посчитайте интеграл, тогда вам станет ясно откуда берется сумма)

Я и посчитал. Тот, который был написан непосредственно. А так далеко не заглядывал.

Если же заглянуть, то там действительно получится. Но всё-таки явно не сумма.

[djem]

mihiv в сообщении #1220022 писал(а):

$t=\cos ^2\varphi , dt=-2\sin \varphi \cos \varphi d\varphi $

Отличная замена. Я считала иначе и поэтому выходило непросто. У меня sin уходил под знак дифференциала и потом сначала через замену cos=t, а потом через замену $\frac{1}{t^{4}}-1=z^{2}$ все уже решалось) а тут все оказалось гораздо проще! Спасибо! И, да, действительно знак минус, а не плюс в ответе.