Смысл частоты для непериодического сигнала

[franky]

В теории автоматического управления вводится понятие амплитудно-фазовой частотной характеристики звена. Она (АФЧХ) характеризует выход системы при подаче на вход гармонических сигналов: изменение амплитуды (АЧХ) и сдвиг по фазе (ФЧХ).
Если я подаю на вход произвольный, негармонический сигнал, какой смысл у этой характеристики? Иначе говоря, что есть частота сигнала произвольной формы?

Если сигнал периодический, то его можно представить рядом Фурье, но у его членов разные частоты...

В отношении следящего привода: каким образом увеличение частоты среза повышает быстродействие (уменьшает время переходных процессов)?

Интересует объяснение именно с физической стороны вопроса. Спасибо.

[Mihaylo]

Частота - это быстрота. Даже непериодический сигнал бывает быстроменяющимся - это отражается на его частотных характеристиках.

[profrotter]

franky в сообщении #1219590 писал(а):

Если я подаю на вход произвольный, негармонический сигнал, какой смысл у этой характеристики?

Характеристика звена (и её смысл) никак не зависят от того, какой сигнал подаётся на вход. Это собственность звена - его характеристика. Мухи отдельно, котлеты - отдельно. Смысл этой характеристики вы обнаружите сразу же, как только перечитаете её определение, частично это уже отражено в вашем сообщении.

franky в сообщении #1219590 писал(а):

Если сигнал периодический, то его можно представить рядом Фурье, но у его членов разные частоты...

Вот с этого и следует начинать. Для линейных звеньев с постоянными параметрами выполняется принцип суперпозиции и транспозиции. Первый говорит о том, что при воздействии на вход линейной комбинации сигналов можно рассматривать как каждый их этих сигналов отдельно преобразуется звеном после чего выходной сигнал собрать из результатов такого анализа в виде такой же линейной комбинации как и на входе. Второй говорит о том, что при преобразовании гармонического сигнала линейной системой с постоянными параметрами откликом является гармонический сигнал той же частоты, что и на входе, то есть при преобразовании гармонического сигнала может измениться только его амплитуда и начальная фаза.

franky в сообщении #1219590 писал(а):

Иначе говоря, что есть частота сигнала произвольной формы?

Ничто ни есть. Попросту нет такого понятия. Нет такой характеристики, которая вводилась бы для сигнала произвольной формы. Частота - это параметр периодических сигналов. Обратите внимание на заголовок вашей темы - он некорректен, поскольку невозможно искать смысл несуществующего термина.

franky в сообщении #1219590 писал(а):

В отношении следящего привода: каким образом увеличение частоты среза повышает быстродействие (уменьшает время переходных процессов)?

Тем самым образом, который определяет теорема о изменении масштаба времени для преобразования Фурье: при увеличении ширины спектральной функции ширина временной функции уменьшается и наоборот. Как именно определяется эта ширина - вопрос конкретики решаемой задачи. В данном случае спектральной функцией является АФЧХ, а временной импульсная характеристика звена.

franky в сообщении #1219590 писал(а):

Если я подаю на вход произвольный

Произвольные непериодические сигналы, для которых можно рассматривать преобразование Фурье также представляются в виде совокупности гармонических составляющих, правда в их составе в отличие от периодического присутствуют гармоники всех частот.

[realeugene]

franky в сообщении #1219590 писал(а):

Если я подаю на вход произвольный, негармонический сигнал, какой смысл у этой характеристики? Иначе говоря, что есть частота сигнала произвольной формы?

Периодические сигналы, действительно, можно раскладывать в ряды Фурье. Непериодические сигналы, при некоторых дополнительных ограничениях, можно скармливать непрерывному преобразованию Фурье, получая представление этого непрерывного сигнала в частотной области. Результат такого преобразования часто называют "спектром сигнала", хоть я сейчас и не уверен, что такое применение термина к детерминированному сигналу полностью формально корректно. В любом случае, насколько я помню, преобразование Фурье вводится в матанализе как предельный переход разложения в ряд Фурье для периода сигнала, устремляемого в бесконечность. В приложении к фильтрации особо полезна теорема о свёртке, позволяющая заменить свёртку во временной области умножением в частотной.

[Munin]

franky в сообщении #1219590 писал(а):

В теории автоматического управления вводится понятие амплитудно-фазовой частотной характеристики звена. Она (АФЧХ) характеризует выход системы при подаче на вход гармонических сигналов: изменение амплитуды (АЧХ) и сдвиг по фазе (ФЧХ).
Если я подаю на вход произвольный, негармонический сигнал, какой смысл у этой характеристики? Иначе говоря, что есть частота сигнала произвольной формы?

Тут штука очень простая.

Звено, конечно, реагирует на негармонический сигнал негармоническим откликом. Но как его вычислить? Оказывается, если звено линейное, то можно применить некоторый заранее вычисленный оператор. А АФЧХ (будьте здоровы) - это как раз удобная форма хранения такого оператора. Другие варианты - это, например, импульсная и переходная характеристики.

[Евгений Машеров]

Это тот фонарь, под которым мы ищем, поскольку не под фонарём искать трудно. Непериодический сигнал можно представить, как сумму гармонических. При этом для ряда практически значимых систем выполняется линейность, в том смысле, что отклик на сумму сигналов равен сумме откликов на слагаемые (хотя бы приближённо выполняется). При этом для ряда практически значимых систем отклик на гармонический сигнал на входе получается не просто, а очень просто, сводясь к известному изменению амплитуды и сдвигу по фазе (цепи из конденсаторов и катушек индуктивности, механические системы с пружинами и грузами и пр.) И тогда вместо расчёта отклика на нелинейное возбуждение взятием (вообще говоря, неберущихся) интегралов идём в обход - представляем входной сигнал суммой синусоид, разлагая в ряд Фурье, и потом небольшое упражнение в арифметике (вообще говоря, комплексных чисел).

[franky]

Если на вход идеального интегратора подать $\sin(x)$, из логических рассуждений (глядя на график) получается, что на выходе будет $2\sin(x/2)$. Т.е. частота в 2 раза меньше, так как для входного сигнала сумма площадей под положительной и отрицательной полуволнами за период обращается в ноль на границах периода, что даёт одну полуволну на выходе. Максимальная амплитуда выхода будет при $x = \pi+nT$, где $T$ - период выходного сигнала, и равна площади под одной полуволной на входе:$A = 2$. И по фазе не сдвинуты, т.к. при нуле на входе - нуль на выходе в начальный момент времени (интегратор не успел ничего "наинтегрировать"). В чём я ошибаюсь?

[Dmitriy40]

После идеального интегратора будет постоянное напряжение. С уровнем равным среднему за период входного сигнала. Для синусоидального сигнала любой частоты и любой амплитуды на выходе будет ровно 0.

[franky]

profrotter в сообщении #1219679 писал(а):

Для линейных звеньев с постоянными параметрами выполняется принцип суперпозиции и транспозиции. ... Второй говорит о том, что при преобразовании гармонического сигнала линейной системой с постоянными параметрами откликом является гармонический сигнал той же частоты, что и на входе, то есть при преобразовании гармонического сигнала может измениться только его амплитуда и начальная фаза.

[realeugene]

franky в сообщении #1223067 писал(а):

Если на вход идеального интегратора подать $\sin(x)$, из логических рассуждений (глядя на график) получается, что на выходе будет $2\sin(x/2)$.

Что за бред? Понятие интеграла уже в школе не проходят? Производные/первообразные элементарных функций нужно знать, а не пытаться их выводить из каких-то сомнительных и, разумеется, ошибочных построений.

[Евгений Машеров]

franky в сообщении #1223067 писал(а):

Если на вход идеального интегратора подать $\sin(x)$, из логических рассуждений (глядя на график) получается, что на выходе будет $2\sin(x/2)$. Т.е. частота в 2 раза меньше, так как для входного сигнала сумма площадей под положительной и отрицательной полуволнами за период обращается в ноль на границах периода, что даёт одну полуволну на выходе. Максимальная амплитуда выхода будет при $x = \pi+nT$, где $T$ - период выходного сигнала, и равна площади под одной полуволной на входе:$A = 2$. И по фазе не сдвинуты, т.к. при нуле на входе - нуль на выходе в начальный момент времени (интегратор не успел ничего "наинтегрировать"). В чём я ошибаюсь?

Идеальный интегратор превращает синус в минус косинус той же частоты.

[franky]

То есть выход в момент времени $t$ не есть определённый интеграл $y(t)=\int\limits_{0}^{t}x(\tau)d\tau$, где $x(t)$ - вход интегратора?

[oleg_2]

franky
Вы ошиблись "(глядя на график)", приняв один период приподнятого косинуса за полпериода синуса низкой частоты.

[franky]

Всем спасибо!