параметризация окружности

[asinistroso]

Здравствуйте!

Рассматриваем окружность $x^2 + y^2 = r^2$
Говорят, что возможна следующая параметризация этой окружности:
$x = t^2 - 1$, $y=2t$, $r=t^2 + 1$

Т.е., если я правильно понимаю, для любых значений $x, y, r$ можно найти $t$ такое, что $x = t^2 - 1$, $y=2t$, $r=t^2 + 1$
Если не так, то что значит выражение "параметризация окружности"?

Но почему так? Ведь если я просто предполагаю, что $y=2t$, то абсолютно не факт, что $x = t^2 - 1$

Помогите, пожалуйста
Только сильно не пинайте

[Brukvalub]

Нет, это не параметризация, поскольку радиус окружности от параметра зависеть не должен.

[Бодигрим]

Пока вы не указали пределы изменения параметра $t$, выписанные уравнения параметризацией назвать нельзя. И вообще в вашем уравнении окружности ведь две переменных, а $r$ - константа? Тогда почему вы выражаете и его через параметр?

[Someone]

Обычно, когда говорят о параметризации кривой, имеют в виду запись уравнений кривой в виде

$$\begin{cases}x=x(t)\text{,}\\ y=y(t)\text{.}\end{cases}$$

Например, стандартная параметризация окружности имеет вид

$$\begin{cases}x=r\cos\varphi\text{,}\\ y=r\sin\varphi\text{.}\end{cases}$$

Если обозначить $t=\tg\frac{\varphi}2$, то можно получить рациональную параметризацию

$$\begin{cases}x=r\frac{1-t^2}{1+t^2}\text{,}\\ y=r\frac{2t}{1+t^2}\text{.}\end{cases}$$

Обычно ещё указывают границы изменения параметра.

[asinistroso]

дело в том, что в общем случае у меня радиус окружности меняется (т.е. это уже не совсем параметризация окружности )
Хотя, наверное, лучше считать радиус константой. Тогда с точностью до замены координат я могу считать x^2 + y^2 = 1

Подскажите, пожалуйста, какая параметризация окружности возможна в таком случае?
Например, если мы зафиксируем точку на окружности, то каждая точка окружности однозначно определяется расстоянием (по окружности, при обходе против часовой стрелки, например) до этой фиксированой точки. Т.е. параметр принимает значения от 0 до длины окружности. Но боюсь, что формулы будут не особо приятными.

Какие возможны параметризации? Где об этом можно почитать?

UPD. Ой, пока писала сообщение уже есть ответ Спасибо огромное, Someone!
И ещё уточнение: в этой рациональной параметризации получается t - любое действительное?

[Capella]

asinistroso

Вы говорите о эвольвенте?

[asinistroso]

Capella писал(а):

Вы говорите о эвольвенте?

Если я правильно понимаю, что такое эвольвента, то нет

Спасибо, Someone дал исчерпывающий ответ.

[Someone]

asinistroso писал(а):

И ещё уточнение: в этой рациональной параметризации получается t - любое действительное?

Да. Причём, точка $(-r,0)$ не получается (можно считать, что получается при $t=\infty$, но это не всем нравится). Не знаю, насколько это для Вас существенно.

[asinistroso]

Someone писал(а):

Да. Причём, точка $(-r,0)$ не получается (можно считать, что получается при $t=\infty$, но это не всем нравится). Не знаю, насколько это для Вас существенно.

Ну с одной точкой можно и так разобраться
Спасибо огромное!