Сумма в цикле остатков для разных СС

[kthxbye]

При возведении чисел от $1$ до $9$ в десятичной системе счисления в степень имеем цикл остатков (от деления на $10$, т.е. последних цифр числа) длиною в $4$ степени. Для СС, у которых основание - простое число, имеем циклы длиною $p-1$. Все остатки в степенях $np-1$ равны единице, отсюда МТФ.

Существует ли какое-то правило распределения остатков? Заметил только, что они повторяются в обратном направлении (без учета последней степени в цикле), например для $11$:

$2 - 2,4,8,5,10,9,7,3,6$
$6 - 6,3,7,9,10,5,8,4,2$
$7 - 7,5,2,3,10,4,6,9,8$
$8 - 8,9,6,4,10,3,2,5,7$

И т.д. Если их суммировать (опять-таки без последней степени), получаем числа, делящиеся без остатка на основание СС. Например:

1) Осн. - $7$; $14,21,14,21,21; (2,3,2,3,3)$
2) Осн. - $11$; $55,44,44,44,55,55,55,44,55; (5,4,4,4,5,5,5,4,5)$
3) Осн. - $13$; $78,52,78,78,78,78,78,52,78,78,78; (6,4,6,6,6,6,6,4,6,6,6)$
4) Осн. - $17$; $136(15); 8(15)$

Почему везде (кроме $17$) разные суммы? Проверял до $19$, там они тоже различны. По какому правилу они распределяются? В каких случаях аналогично $17$ суммы одинаковые?

[vpb]

То, что Вы заметили, довольно просто и очевидно, и было замечено, доказано и обобщено классиками еще несколько столетий назад. Взяли бы Вы да почитали какой учебник по элементарной теории чисел. Бухштаба Вам уже советовали, позволю себе еще присоветовать Виноградова "Основы теории чисел". Еще есть много более популярной литературы, допустим на сайте МЦНМО. Еще есть журналы "Квант". И всё само собой разъяснится.