Маляры-растяпы

[Профессор Снэйп]

Маляр уронил на плоскость ведро с краской, в результате чего образовалось пятно площади $a$ (пятно не обязательно должно состоять из одной связной области, просто какое-то измеримое множество лебеговской меры $a$). Всегда ли можно при помощи поворотов и параллельных переносов переместить это пятно так, чтобы в него не попала ни одна точка плоскости с целочисленными координатами?

Известно, что число $a$

1) меньше $1$
2) равно $1$
3) меньше чем $\pi/2$

P. S. Мне известно решение только первого варианта задачи, когда $a < 1$.

[ИСН]

Меньше 1 - это классика, даже поворотов не надо: порезали плоскость (а с ней и пятно) на квадратики, все запятнанные квадратики перенесли на первый, раз площадь меньше 1 - в нём есть чистая точка, ну и передвигаем на неё начало координат.