Квадрат и куб из первых восьми цифр

[Ktina]

Мажьдолин записала (в десятичной системе) квадрат некоторого целого числа, а рядышком - куб этого же целого числа (тоже в десятичной системе).
Оказалось, что она использовала каждую из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 ровно один раз (а другие цифры не использовала).
Могло ли такое быть?

[rockclimber]

Оказывается, нет да!

(Некоторые рассуждения)

Это 42 24!
Возможны два варианта:
1. Квадрат и куб состоят из 4 цифр каждый. Минимально возможное число в данном случае будет 1234, максимально возможное - 8765. Корень из 1234 больше 35. Чтобы получить из квадрата куб, надо меньшее из чисел умножить на число не меньше, чем 35. Вариант 1 отпадает. Это даже не заглядывая в таблицу квадратов и кубов (а если заглянуть, ограничения становятся сильно строже).
2. Квадрат из 3 цифр и куб из 5. Вариантов всего 10, с 22 до 31 включительно. Выкидываем квадраты с цифрой 9 и повторами цифр, выкидываем 25 (потому что там всегда 25 на конце, а повторять цифры нельзя) остаются 3 варианта, и вуаля!

[fiviol]

Со случаем 1. слишком сложно рассуждаете. Если квадрат и куб имеют одинаковую значность, то число меньше 10, а значит его квадрат не может быть четырехзначным.

[rockclimber]

fiviol
Да, согласен. Но можно и еще проще: квадрат и куб имеют одинаковое количество цифр только для чисел 1, 2 и 4. Правда, чтобы использовать именно это, надо знать об этом заранее. Я не знал, только что обнаружил.

-- 24.05.2017, 13:30 --

А, лучше даже так: начиная с числа 10, квадрат и куб должны гарантированно иметь разное число цифр.

[fiviol]

Интересно, что для куба и четвертой степени аналогичная задачка имеет решение (= 18) со всеми 10 цифрами!