свойство псевдопростых чисел по основанию 2 И/ИЛИ 3

[Ascar]

Пусть число $k$ псевдопростое по основанию 2 и/или 3
то есть выполняется одно из условий.. или выполняются оба условия

$2^{k-1} \bmod k = 1$
и/или
$3^{k-1} \bmod k = 1$

Если вместо степени $(k-1)$ мы возьмем следующее выражение $\alpha = 256k^8-2048k^7+6784k^6-11904k^5+11680k^4-6112k^3+1380k^2-36k$

число k будет псевдопростым по любому целому основанию $\beta > 1$, где $k$ и $\beta$ взаимно простые

$\beta^\alpha \bmod k = 1$

Примеры:
$k=121$

$\alpha = 11006388017805370080

$37^{11006388017805370080} \bmod 121 = 1$

------------------------------------------------------------------------

$k=2701$

$\alpha = 723019464640267326126461170800$

$97^{723019464640267326126461170800} \bmod 2701= 1$

ПЫСЫ смысла мало :) но выглядит красиво, существует степень по которой возможно псевдопростые по 2 и/или 3 являются псевдопростыми по любому основанию как числа Кармайкла

[Ascar]

блин эта формула интересная
продолжу



эта формула поможет разложить остаток $\varphi$, если $k$ любое целое число

$2^{k-1} \bmod k = \varphi$

где $\varphi>1$

находим степень $\lambda$ по формуле

$\lambda = 256(k\varphi)^8-2048(k\varphi)^7+6784(k\varphi)^6-11904(k\varphi)^5+11680(k\varphi)^4-6112(k\varphi)^3+1380(k\varphi)^2-36(k\varphi)$

и теперь самое интересное

$b^{\lambda} \bmod \varphi = 1$

где $(b,\varphi)$ взаимно простые и $b>1$

Пример
k=1121

$2^{1120} \bmod 1121 = 833 = 7\cdot7\cdot17$

$933793=1121\cdot833$

$\lambda = 147992994097091629145891052601604192667783899221632$

$2^{147992994097091629145891052601604192667783899221632} \bmod 833 = 1$

$2^{147992994097091629145891052601604192667783899221632/32} \bmod 833 = 50$

49 и 51 вот и ответ :))))