Гладкость карт в многообразиях с краем

[Grabovskiy]

Здравствуйте. Прошу помочь разобраться, эквивалентны ли следующие утверждения.

Пусть $\mathbb R ^n_ + := \{x \in \mathbb R ^n : x_1 \geq 0\}$, $U, V $ - открытые подмножества $\mathbb R^n_+$ (в индуц. топологии) или $\mathbb R ^n$. Пусть $\varphi : U \rightarrow V$ - гомеоморфизм.

Эквивалентность таких утверждений:
1) Существуют окрестности $\mathcal O (V)$ и $\mathcal O (U)$ множеств $U$ и $V$ в топологии $\mathbb R ^n$ и диффеоморфизм $\eta : \mathcal O (V)\rightarrow\mathcal O (U)$ такой, что $\eta|_{U} = \varphi$;
2) Отображения $\varphi$ и $\varphi^{-1}$ являются гладкими в том смысле, что существует гладкое продолжение отображения $\varphi$ на некоторую окрестность множества $U$, и существует гладкое продолжение отображения $\varphi^{-1}$ на некоторую окрестность множества $V$ (в $\mathbb R ^n$).

У меня получается это доказать только в следующих предположениях:
a) Множества $U$ и $V$ связны;
б) Любые две точки связного открытого множества можно соединить гладким путем с невырожденной производной (не знаю, верно ли последнее, я могу только доказать, что существует просто гладкий путь).

Очевидно, что из 1) следует 2). Доказываю 1) в предположениях а) и б). Пусть $\eta_1 : \mathcal O (U) \rightarrow \eta_1(\mathcal O (U))$ и $\eta_2 : \mathcal O (V) \rightarrow \eta_2(\mathcal O (V))$ - гладкие продолжения. В любой точке из $U$ и $V$ они имеют невырожденные производные, а потому окрестности $\mathcal O (U)$ и $ \mathcal O (V) $ можно уменьшить, если нужно, так, чтобы всюду у этих отображений были невырожденные производные. Их также можно уменьшить до связных окрестностей, поскольку $U$ и $V$ связны. Покажем, что отображение $\eta_1$ инъективно. Пусть $p$ и $q$ есть какие-либо две различные точки из $\mathcal O (U)$. По предположению б) найдется гладкий путь $\gamma : [0,1] \rightarrow \mathcal O(U)$ с невырожденной производной, соединяющий точки $p = \gamma(0)$ и $q = \gamma(1)$. Пусть $a \notin \mathcal O(U)$. Рассмотрим отображение $\|\eta_1(\gamma(\cdot))-a\|_2 : [0,1] \rightarrow \mathbb R$, где $\|\cdot\|_2$ - евклидова норма. Раз это отображение совпадает на концах отрезка, то найдется точка $\xi \in (0,1)$, в которой производная равна нулю (теорема Ролля). Его дифференциал есть
$d_\xi(\|\eta_1(\gamma(\cdot))-a\|_2) = d_{\eta_1(\gamma(\xi)) - a}\|\cdot\|_2 \circ d_{\gamma(\xi)}\eta_1 \circ d_{\xi} \gamma = 0 $. Поскольку $d_{\eta_1(\gamma(\xi)) - a}\|\cdot\|_2 \neq 0$ и $d_{\xi} \gamma \neq 0$, то $d_{\gamma(\xi)}\eta_1 = 0$, чего быть не может, поскольку производная у $\eta$ везде невырожденная. Значит, $\eta_1$ -- биективный локальный диффеоморфизм, а потому глобальный диффеоморфизм.

Вряд ли такую идею можно обобщить на несколько компонент связности.

[DeBill]

Grabovskiy в сообщении #1216916 писал(а):

у $d_{\eta_1(\gamma(\xi)) - a}\|\cdot\|_2 \neq 0$ и

Это верно. Однако, это - дифференциал отображения "из двумерного в одномерное", и у него есть нетривиальное ядро.
Так что композиция может спокойно обнулиться.
Вообще, из неинъективности (в двумерное) отображения не следует вырожденность дифференциала: стандартный пример $t \mapsto (\cos t,\sin t)$.
Вообще, Вашу конструкцию можно поправить, примерно, так:
1.Показываем, что точки края переходят обязательно в точки края. Обозначим через $\varphi_0$ сужение $\varphi$ на край. Тогда $\varphi_0$ -диффео.
2. Возьмем фиксированный отрезок на краю. В каждой его точке применяем теорему о неявной (обратной). Из полученных окрестностей выбираем конечное покрытие отрезка. Обозначим объединение окрестностей этого покрытия $u$
3. Пусть $\varphi_1(x_1,...,x_n) = (x_1,\varphi_0(0,x_2,...,x_n))$. Тогда $\varphi_1$ также диффео, совпадающий с $\varphi$ на краю.
4. Пусть $\psi =\varphi_1^{-1}\circ\varphi$ . Тогда $\psi =id$ на краю. Сужая, если надо, область $u$, оценим сверху норму разности $d\psi -id$ малым числом $m<\frac{1}{2}$
4. Глобальную инъективность получим из : если $\varphi (a) = \varphi (b)$, то $\psi (a) = \psi (b)$, $ \left\lVert a-b\right\rVert \leqslant \left\lVert d(\psi -id)\right\rVert\cdot \left\lVert a-b \right\rVert$...
5. Делаем так для прочих отрезков...

[Grabovskiy]

DeBill, большое спасибо за Ваш ответ! Но я никак не могу до конца использовать Вашу идею.

Насколько я понял, под $\varphi$ Вы уже понимаете гладкое продолжение с невырожденными производными, и доказываете его инъективность. Отображение $\psi$ играет роль "критериального" отображения, т.е. если ломается инъективность у $\varphi$, то ломается и у $\psi$.

Но:

DeBill в сообщении #1216954 писал(а):

4. Глобальную инъективность получим из : если $\varphi (a) = \varphi (b)$, то $\psi (a) = \psi (b)$, $ \left\lVert a-b\right\rVert \leqslant \left\lVert d(\psi -id)\right\rVert\cdot \left\lVert a-b \right\rVert$...

Как я понял, в этом неравенстве Вы подставляете $a$ и $b$ из края (так как $\psi$ тождественно на краю, а слева в неравенстве использовано тождественное отображение), а тогда доказываете инъективность на краю. Я так понял, что для $\psi$ Вы получаете липшицевость (с константой $1/2$), но тогда липшицевость будет локальной и доказать глобальную инъективность не получится (которая бы включала точки, близкие к краю).

[DeBill]

Grabovskiy в сообщении #1217188 писал(а):

Отображение $\psi$ играет роль "критериального" отображения, т.е. если ломается инъективность у $\varphi$, то ломается и у $\psi$.

Ага. При этом пси лучше фи, потому что близко к тождественному.

Grabovskiy в сообщении #1217188 писал(а):

в этом неравенстве Вы подставляете $a$ и $b$ из края

Не: на краю и так есть инъективность.
Имеем: $\psi =id + \Delta \psi$. Если $\psi(a) = \psi (b)$, то $a-b = \Delta \psi (b) - \Delta \psi (a)$, откуда и оценка в тексте.

Grabovskiy в сообщении #1217188 писал(а):

тогда липшицевость будет локальной и доказать глобальную инъективность не получится.

Да, это верно. Но "полуглобальная" - в окрестности отрезка - получается. И - там еще был пятый пункт....А там надо, чтобы таки глобальная инъективность получилась - опять возиться. А других инструментов проверки я предложить не могу (хотя: есть еще методы , основанные на "степени отображения")
Тогда - чтоб не мучиться с п.5, сразу будем , в окрестности каждой граничной точки, которую дает т. о неяной (п.2) строить меньшую окрестность (с тем же центром), в которой есть $\frac{1}{2}$-липшецевость для невязки $\Delta \psi$.
Вот только конечное подпокрытие из них мы не изготовим: нет компактности пересечения области с краем. Ну и не надо: возьмем просто их объединение.
Ох, оно может оказаться невыпуклым, и мы не сумеем соединить точки $a,b$ отрезком - а это надо в нашей оценке. Ладно, будем уменьшать полученную область так, чтобы любые точки $a,b$ из нее можно было соединить кривой (лежащей в области) длины, меньшей $2\cdot\left\lVert a-b \right\rVert$. Вроде, это можно сделать. Но как то все коряво это....