Дисперсия произведения зависимых случайных величин

[Voldemar1]

Добрый день.
Подскажите, пожалуйста, по какой формуле можно вычислить дисперсию произведения зависимых случайных величин?

Величины имеют нормальное распределение, мат. ожидание, дисперсии известны. Коэффициент корреляции - тоже.

Соответственно, если $X$ и $Y$ - зависимые СВ, распределенные по нормальному закону, нужно найти $D[XY]$, $D[X^2]$.

[dsge]

Существуют очень простые формулы, связывающие дисперсии и ковариации с 1-ми и 2-ми моментами.

[DeBill]

Voldemar1
Со второй задачей все просто: Вы знаете распределение $X$ - нормальная она.
Совет: для счета $MX^4$, вместо муторного интегрирования по частям, можно написать тождество "интеграл от плотности равен 1", перекинуть сигму направо, и продифференцировать полученное по сигме. А потом - повторить эту процедуру исчо раз.
С первой - хужее. Можно попробовать так: Пусть вектор $\xi =(X,Y)$ получен из двумерного стандартного нормального $\eta$ "линейным" преобразованием $\eta = A\xi +b$. Как при этом меняются матожидание и матрица ковариаций? Найдите эти $A$ и $b$ (Вам фактически придется приводить к каноническому виду уравнение эллипса). Через найденные к-ты теперь все легко сосчитается (ибо матожидание произведения независимых равно произведению матожиданий, а компоненты $\eta$ как раз и независимы)

[Евгений Машеров]

Или просто вспомнить слово "эксцесс" и чему он равен у нормальных (это ко второй задаче).

[DeBill]

Voldemar1
Тут меня умные люди поправили: если фраза

Voldemar1 в сообщении #1216388 писал(а):

Величины имеют нормальное распределение

означает, что "каждая из величин - нормальна", то данных для решения вообще недостаточно.
Однако, если это относится к совместному распределению, то - можно. В частности, можно тупо выписать плотность совместного распределения, и записать сразу ответ - через интегралы. Правда, для вычисления этих интегралов все равно придется приводить квадратичную форму (из показателя экспоненты) к главным осям - но это уже дело техники.

[Voldemar1]

Спасибо за помощь! Постараюсь грамотно воспользоваться советами!

[ShMaxG]

Voldemar1 в сообщении #1216388 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, по какой формуле можно вычислить дисперсию произведения зависимых случайных величин?
Величины имеют нормальное распределение, мат. ожидание, дисперсии известны. Коэффициент корреляции - тоже.

См. теорему: https://en.wikipedia.org/wiki/Isserlis%27_theorem
Строго говоря, чтобы воспользоваться этой формулой, нужно чтобы случайные величины были не просто нормальными, но были компонентами нормального случайного вектора.