НОД в Z[X]

[student1138]

Здравствуйте. Есть такая задача:
Пусть $f, g$ - нормализованные многочлены в $Z[X]$. Показать, что в выражении $\gcd(f, g) = fu + gv$ c $u, v \in Z[X]$, можно считать, что $\deg{u}<\deg{g}, \deg{v}<\deg{f} $

Начал разбираться и тут возник такой вопрос. Ведь $Z[X]$ - это не Евклидово кольцо, правильно я понимаю?. А значит не факт что НОД существует и $u, v \in Z[X]$. Например, я взял два многочлена: $x^4+x^3-3x^2-4x-1$ и $x^3+x^2-x-1$, попытался найти их НОД по алгоритму Евклида, но уже на втором шаге у меня появились дроби. Итоговый НОД а так же $u, v$ в его разложении тоже с дробями.

В общем я или неправильно понял задачу или что-то еще я понимаю неправильно. Помогите разобраться, пожалуйста.

[DeBill]

student1138 в сообщении #1216173 писал(а):

Итоговый НОД а так же $u, v$ в его разложении тоже с дробями.

Эт все верно. Однако, нам явно и прямо в условии сказали: повезло вам, ребята, энти $u$ и $v$ таки с целыми коэф-тами. Вот от этой печки и нада танцевать....

(Оффтоп)

поделив $v$ на $f$, например

[Padawan]

student1138 в сообщении #1216173 писал(а):

А значит не факт что НОД существует

НОД существует, т.к. кольцо $\mathbb Z[x]$ факториально.