Инвариантные гиперплоскости полиномиальных отображений

[Domique]

Пусть мы имеем аффинное отображение $y=F(x)=Ax+b$, $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$, (то есть $y_i = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_j + b_i$, $i=\overline{1,n}$), тогда гиперплоскость $(q,x)=c$ (то есть $\sum_{i=1}^{n} q_i x_i = c$) является инвариантной для отображения $F$ (то есть, если $(q,x)=c$, то $(q,y)=c$) тогда и только тогда, когда $A^{\ast} q = (1-(q,b)/c) q$. Здесь звёздочка означает сопряжённый оператор.

Какие есть необходимые и достаточные условия (или на худой конец только достаточные), чтобы гиперплоскость $(q,x)=c$ была инвариантной для полиномиального отображения $y=F(x)$, $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ (то есть $y_i = P_i (x_1, x_2, ..., x_n)$, $i=\overline{1,n}$, $P_i$ - алгебраические полиномы)?

Как обычно, это означает, что если $(q,x)=c$, то $(q,y)=c$.

[Slav-27]

Domique в сообщении #1216116 писал(а):

гиперплоскость $(q,x)=c$ (то есть $\sum_{i=1}^{n} q_i x_i = c$) является инвариантной для отображения $F$ (то есть, если $(q,x)=c$, то $(q,y)=c$) тогда и только тогда, когда $A^{\ast} q = (1-(q,b)/c) q$.

Когда $c=0$, это не работает.

А почему бы не подвинуть всё так, чтобы гиперплоскость стала $x_n=0$? Тогда условия понятно какие: $n$-й многочлен делится на $x_n$.

[DeBill]

Domique
Общее утверждение выглядит так:
У. Если $g=0$ на множестве $E=\{f=0\}$, то (при некоторых, достаточно простых, ограничениях на $f$) $g$ делится на $f$ . Для Вашей задачи надо взять в качестве $f$ "уравнение" гиперплоскости, $g=f\circ F$. Поскольку у Вас $f,g$ - многочлены первой степени, то условие делимости означает пропорциональность этих многочленов, и его можно переписать так, как Вами и было сделано (при $c \ne 0$, как Вам и указали). Для полиномиального $F$ все не будет так уж просто: придется все ж проверять эту самую делимость. Проще всего это сделать так: выразить из $f=0$ одну из переменных через остальные, да и подставить в $g$: все должно занулиться. В результате мы видим, что , фактически, мы и пришли к предложеноому Slav-27 способу...
Ну, а наиболее устрашающее обобщение У - это знаменитая Nullstellensatz (теорема Гильберта о нулях)