Несобственные интегралы от параметра

[Липин Сергей]

Кто знает,где более-менее понятно описаны решения задач по несобственным интегралам,зависящим от параметра???

[dm]

В Антидемидовиче смотрели?

[Липин Сергей]

В Антидемидовиче смотрел,но там мало решено заданий.

[NDP]

Виноградова, Олехник, Садовничий. Математический анализ в задачах и упражнениях (несобственные интегралы). "Факториал", 1996 или рядом.

[Sanyok]

Извиняюсь, что немного не в тему... У меня похожая проблема, только интеграл с конечными пределами. Надо найти какое-то приемлемое представление (удобное для численного вычисления) для следующей функции, заданной параметрически:

F(x) = SS exp (x*cos(t-t0)) dt dt0,

где S - знак интеграла, t и t0 - переменные интегрирования. Пределы интегрирования по обеим переменным - вроде бы произвольные, по периоду 2*pi, то есть - от -pi до pi , или от 0 до 2*pi, и т.д. У меня ощущение, что решение должно быть простым, и неохота эту формулу "в лоб" программировать.

[незванный гость]

S(S exp(x cos(u-v)) du) dv
делаем подстановку u = v + w во внутреннем интеграле. Тогда:
S exp(x cos(w)) dw в пределах -v .. 2 pi -v. Пределы можно сдвинуть, поелику подинтегральна функция переодична. Тогда внутренний интеграл вида S exp(x cos(w)) dw в пределах 0 .. 2 pi суть константа по v. Т.е. исходный интеграл == 2 pi S exp(x cos(w)) dw.

Вольфрамовская "Математика" здесь, похоже, подвирает, так что верить или не верить ответу 4 pi^2 BesselI[0,x] -- дело хозяйское. Если честно, я в специальных функциях слабоват...

[Tania]

незванный гость писал(а):

:evil:

S(S exp(x cos(u-v)) du) dv
делаем подстановку u = v + w во внутреннем интеграле. Тогда:
S exp(x cos(w)) dw в пределах -v .. 2 pi -v. Пределы можно сдвинуть, поелику подинтегральна функция переодична. Тогда внутренний интеграл вида S exp(x cos(w)) dw в пределах 0 .. 2 pi суть константа по v. Т.е. исходный интеграл == 2 pi S exp(x cos(w)) dw.

Вольфрамовская "Математика" здесь, похоже, подвирает, так что верить или не верить ответу 4 pi^2 BesselI[0,x] -- дело хозяйское. Если честно, я в специальных функциях слабоват...

Если Вы рассчитываете этот интеграл на "Математике", то лучше всего сделать подстановку Cos[x+y] = Cos[x]Cos[y]+Sin[x]Sin[y] и взять двойной интеграл с одинаковыми пределами от пи до минус пи (можно и от нуля до двух пи). После интеграла напишите "//N". Я получила 49.9823
Вообще, думаю, можно использовать этот-же метод и так. Ещё можно проинтегрировать с помощью теоремы Фубини, используя перестановку переменных (по крайней мере я надеюсь, что можно ).

[Гость]

Tania писал(а):

незванный гость писал(а):

:evil:

S(S exp(x cos(u-v)) du) dv
делаем подстановку u = v + w во внутреннем интеграле. Тогда:
S exp(x cos(w)) dw в пределах -v .. 2 pi -v. Пределы можно сдвинуть, поелику подинтегральна функция переодична. Тогда внутренний интеграл вида S exp(x cos(w)) dw в пределах 0 .. 2 pi суть константа по v. Т.е. исходный интеграл == 2 pi S exp(x cos(w)) dw.

Вольфрамовская "Математика" здесь, похоже, подвирает, так что верить или не верить ответу 4 pi^2 BesselI[0,x] -- дело хозяйское. Если честно, я в специальных функциях слабоват...

Если Вы рассчитываете этот интеграл на "Математике", то лучше всего сделать подстановку Cos[x+y] = Cos[x]Cos[y]+Sin[x]Sin[y] и взять двойной интеграл с одинаковыми пределами от пи до минус пи (можно и от нуля до двух пи). После интеграла напишите "//N". Я получила 49.9823
Вообще, думаю, можно использовать этот-же метод и так. Ещё можно проинтегрировать с помощью теоремы Фубини, используя перестановку переменных (по крайней мере я надеюсь, что можно ).

Вынуждена признаться, что с "Математикой" всё тоже не так просто. Рассчитывая интеграл я забыла о константе а , затем немного поиграла с различными значениями и всегда получала результат, правда всегда подставляла какое-то число, а с неопределённой константой получала сообщение об ошибке. Думаю, всё-же, что этот метод можно использовать при подсёте вручную, но там выйдет очень громоздкий результат...

[незванный гость]

Цитата:

Вынуждена признаться, что с "Математикой" всё тоже не так просто.

1/(2 pi) S(0, 2 pi, exp(x Cos[t]), dt) если верить "Математике" (v. 5.0) равен BesselI[0, x] - StruveL[0, x] (для положительных x.

1/(2 pi) S(eps, 2 pi + eps, exp(x Cos[t]), dt) уже не считается. Если же считать численно, то слагаемое (-StruveL[0, x]) как то не выглядит нужным. Более того, если построить график ответа - ответ Вольфрамова детища убывает, а должен бы возрастать. (Дабы убедиться, достаточно разложить в ряд Симпсона. В нем нечетные члены перемрут при интегрированиии, а четные дадут монотонное возрастание.) Коли так - заключаем: в "Математике" зверь сидит.

И еще забавно: если пределы численного интегрирования от 0 до 2 pi, он выползает, а коли 1 до 2 pi + 1 - сидит и молчит в тряпочку. Это дает возможность заглянуть в кишки численного интегрирования - М. сначала пытается найти первообразную, а уж коли не может, то отступает к действительно численным методам.

Если сравнить разложения в ряд, то становится ясно, что "скрипач (-StruveL[0, x]) не нужен". Т.о. ответ в исходной задаче (про двойной интеграл) - 4 pi^2 BesselI[0,x] - а уж его, как ни считай, все хорошо...

[Sanyok]

Привет! Всем спасибо за ответы! Я таки вчера запрграммировал этот интеграл "в лоб" на Сях простейшим способом(трапециями). Интересно, что точность вычислений не критична к количеству отсчетов по обеим переменным. У меня получились следующие значения для F(x) при х=2 (N - число отсчетов по каждой переменной):
N = 360, F(2) = 89.994421
N = 180, F(2) = 89.994421
N = 90, F(2) = 89.994421
N = 45, F(2) = 89.994421
N = 20, F(2) = 89.994421
N = 10, F(2) = 89.994444

Конечно, нет слов, через функцию Бесселя считать гораздо быстрей, чем ДВОЙНОЙ интеграл. Кстати, хочется уточнить - в ответе F(x) = 4 pi^2 BesselI[0,x] под BesselI[0,x] понимается модифицированная фунция Бесселя нулевого порядка?

А считать эту функцию как одиночный интеграл =
2 pi S exp (x cos(t))dt для достаточно больших значений х (х > 10) может быть даже быстрее, чем через степенной ряд.

[незванный гость]

Sanyok писал(а):

Конечно, нет слов, через функцию Бесселя считать гораздо быстрей, чем ДВОЙНОЙ интеграл.

Фишка здесь в том, что двойной интеграл был сведен к одинарному (с точностью до 2 pi). Ну а как считать дальше - как функцию Бесселя или как интеграл - дело хозяйское.[/quote]

[Sanyok]

У меня еще с одним интегральчиком проблемы.

есть функция:

F(x) = S sh(x*cos(t))dt,

S - знак интеграла, пределы интегрирования от 0 до pi/2, sh - гиперболический синус. Хорошо бы найти представление этой функции через ряд, но в справочниках (Двайт и т.п.) ничего такого не нашел (мож, искал плохо).

Через ряд нужно из-за того, что для этой функции необходимо рассчитывать выражение F(x)/x при х = 0.

[Someone]

Sanyok писал(а):

У меня еще с одним интегральчиком проблемы.

есть функция:

F(x) = S sh(x*cos(t))dt,

S - знак интеграла, пределы интегрирования от 0 до pi/2, sh - гиперболический синус. Хорошо бы найти представление этой функции через ряд, но в справочниках (Двайт и т.п.) ничего такого не нашел (мож, искал плохо).

Через ряд нужно из-за того, что для этой функции необходимо рассчитывать выражение F(x)/x при х = 0.

Так в чём проблема? Разлагаете гиперболический синус в степенной ряд и почленно интегрируете. Интегралы от степеней косинуса вычисляются в конечном виде по рекуррентной формуле, которая элементарно выводится интегрированием по частям.

[serga]

Немного оффтоп конечно, но все же. Люди, пользуйтесь тегом [math]!
Например, для последних сообщений этого топика если написать

[math]$ F(x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sh \left( x  \cos (t) \right)dt $[/math]

то выглядеть будет так $ F(x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sh \left( x \cos (t) \right)dt $, что согласитесь читается гораздо лучше.

[незваный гость]

$ F(x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sh \left( x \cos (t) \right)dt $
Тогда
$ F(x)=\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{\left({(2 k + 1)!!}\right)^2}$