Найти общее решение диффура высших порядков

[Anton.V.Bogachev]

Всем привет!

Решил освежить давно забытые знания по математике, дошел до диффуров - и споткнулся.
Нашел такое уравнение:

$y^{(6)} + 9y^{(4)} = x^{2} - 1 + \sin{3x}$.

Корни хар.многочлена:
$\lambda_{1,2,3,4} = 0, \lambda_{5,6} = \pm3i$.

Как записать общее решение?

$Y = Ax^{2} + Bx + C + A_1x\sin{3x} + B_1x\cos{3x}$

Так верно или я двигаюсь совсем неправильно?

[Ms-dos4]

Anton.V.Bogachev
Во первых, откуда у вас множитель $\[x\]$ при синусе и косинусе?
Во вторых, почему у вас многочлен 2-ой степени отвечает 4-кратному нулевому корню?

[пианист]

Я бы все-таки сначала решил диффур для $u=y^{(4)}$

[Anton.V.Bogachev]

Ms-dos4 в сообщении #1215230 писал(а):

Anton.V.Bogachev
Во первых, откуда у вас множитель $\[x\]$ при синусе и косинусе?
Во вторых, почему у вас многочлен 2-ой степени отвечает 4-кратному нулевому корню?

1. Коэффициент при мнимой части $\lambda_{5,6}$ совпадает с коэффициентом в синусе ($3$), отсюда и $x$ при функциях.

2. Да, неправ. Тогда делаю так:
$Y = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E + A_1x\sin{3x} + B_1x\cos{3x}$.

-- 09.05.2017, 21:44 --

пианист в сообщении #1215232 писал(а):

Я бы все-таки сначала решил диффур для $u=y^{(4)}$

Так. Получается, для уравнения $u'' + u = x^2 - 1 + \sin{3x}$ общим решение будет $U = Ax^2 + Bx + C + A_1x\sin{3x} + B_1x\cos{3x}$.
Верно?
Методом неопределенных коэффициентов нахожу все эти коэффициенты, подставляю и уже решаю обычное уравнение с разделяющимися переменными.

[Ms-dos4]

Anton.V.Bogachev
1. Я не понял вообще, о чём вы. Вы же сначала ищете общее решение ОДНОРОДНОГО уравнения. Вы его то неверно нашли, а неоднородным потом займётесь. И вопрос иксу у синуса остался.
2.А четвёртый то порядок при чём тут? Откройте уже Филипова, и почитайте теорию.

[iifat]

Насколько я помню теорию, если 0 — корень четвёртой кратности, то частное решение будет $(Ax^2+Bx+C)x^4$, а $C_1x^3+\dots$ пойдут в общее. Впрочем, глянуть теорию не помешало б, это ж элементарные формулы.

[Ms-dos4]

iifat
Угу, но человек тут не может найти и общее однородного. Пусть делает лучше делает всё по порядку (хотя я согласен конечно, что это должно писаться руками).

[ET]

Anton.V.Bogachev
Почитайте Филиппова, если он у вас есть. У меня дома эта ценная книжечка валяется\. А если нет, то напомню: Такие уравнения

$y^{(6)} + 9y^{(4)} = x^{2} - 1 + \sin{3x}$
Решаются так: Сначала решается уравнение
$y^{(6)} + 9y^{(4)} = 0 - Тут все предельно просто, раз уж корни характеристического уравнения вы уже нашли.
А потом находится какое-нибудь решения исходного уравнения
Потом общее решение первого плюс это какое-нибудь решение исходного есть общее решение исходного есть общее решение того самого исходного.

Все это в Филиппове есть, он у меня, правда, сейчас не под рукой. Но если его нету, и нужно только вспомнить старое, то могу посоветовать следующий муторный и долгий прием (может он подтолкнет вас Филиппова раздобыть или самому вывести то, что в нем написано):
Берем уравнение
$u'' + 9u = x^2 - 1 + \sin{3x}$
корни его характеристического вам известны : $3i$ и $-3i$
Делаем замену: $z=u'-3iu$ Если вот это вот $3i$ - корень характеристического исходного, то эта замена работает, и должно получиться что-то вроде $z'+3iz=x^2 - 1 + \sin{3x}$
С этим делаем следующее: умножаем на $e^{3ix}$ и левую часть, которая будет $z'e^{3ix}+3ize^{3ix}$ представляем в виде $=(ze^{3ix})'$ Интегрируем, делим. С переходом от $z$ к $u$ проводим аналогичный прием (только множитель там должен быть $e^{-3ix}$) Опять интегрируем, делим. В частном решении комплексные единицы должны исчезнуть.