Нелинейное дифференциальное уравнение

[Anton.V.Bogachev]

Всем привет.
Помогите, пожалуйста, с решением диффура - каким методом решать, какую подстановку сделать, чтобы было хорошо?

$y' = \sqrt{\frac{x-y}{x+y}} + \frac{y}{x}, y(1) = 1$

[ewert]

Однородная правая часть.

[пианист]

$y=ux$

[Anton.V.Bogachev]

ewert
пианист
Огромное спасибо, помогли! Теперь буду знать.

-- 08.05.2017, 22:03 --

Хотя нет, какая-то ерунда получается.
Исходное уравнение было такое:

$xy'(x+y) = x\sqrt{x^2 - y^2} + y(x+y)$.

Хотел упростить, разделив на $x+y$, запомнив предварительно, что $y(x) = -x$ является решением, чтобы его не потерять (это верно?).

Получил $y' = \sqrt{\frac{x-y}{x+y}} + \frac{y}{x}$.
Делаю замену $y = ux$:
$u' = \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-u}{1+u}}$.
$\sqrt{\frac{1+u}{1-u}} du = \frac{dx}{x}$.
$\ln{x} = \arcsin{u} - \sqrt{1-u^2}$.

Вопрос, собственно: как явно можно выразить $u$, чтобы наконец-то получить общее решение, или экспонента от арксинуса - это нормально?

[Singular]

Может быть поможет представление $\sqrt{1-u^2}=\cos\left(\arcsin{u}\right)$? Ну и дальше принять новую переменную, например $t=\arcsin{u}$?

[ewert]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1215055 писал(а):

, или экспонента от арксинуса - это нормально?

Нормально. Что вышло, то и ладно. Только кое-что забыто.

[guryev]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1215055 писал(а):

Делаю замену $y = ux$:
$u' = \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-u}{1+u}}$.
$\sqrt{\frac{1+u}{1-u}} du = \frac{dx}{x}$.

А если $u\equiv 1$?

[Someone]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1215055 писал(а):

Получил $y' = \sqrt{\frac{x-y}{x+y}} + \frac{y}{x}$.

Там должно быть $\pm\sqrt{\ldots}$, где знак "$\pm$" совпадает со знаком $x+y$.

[Anton.V.Bogachev]

guryev в сообщении #1215079 писал(а):

Anton.V.Bogachev в сообщении #1215055 писал(а):

Делаю замену $y = ux$:
$u' = \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-u}{1+u}}$.
$\sqrt{\frac{1+u}{1-u}} du = \frac{dx}{x}$.

А если $u\equiv 1$?

Эээ ... наверное, сказать, что $ y\ne x$?

Singular в сообщении #1215072 писал(а):

Может быть поможет представление $\sqrt{1-u^2}=\cos\left(\arcsin{u}\right)$? Ну и дальше принять новую переменную, например $t=\arcsin{u}$?

Выражение переделается в $\ln{x} = t - \cos{t}$, и все равно явно $t$ не выражается.

Someone в сообщении #1215118 писал(а):

Anton.V.Bogachev в сообщении #1215055 писал(а):

Получил $y' = \sqrt{\frac{x-y}{x+y}} + \frac{y}{x}$.

Там должно быть $\pm\sqrt{\ldots}$, где знак "$\pm$" совпадает со знаком $x+y$.

Т.е. рассматривать 2 уравнения с разными знаками перед корнем?
Блин, что-то я совсем затупил с этим диффуром. (( В тупик встал.

[пианист]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1215217 писал(а):

Эээ ... наверное, сказать, что $ y\ne x$?

Почему Вы считаете, что $y=x$ надо отбросить?

[Anton.V.Bogachev]

пианист в сообщении #1215220 писал(а):

Anton.V.Bogachev в сообщении #1215217 писал(а):

Эээ ... наверное, сказать, что $ y\ne x$?

Почему Вы считаете, что $y=x$ надо отбросить?

Нет, не отбросить: запомнить, что это тоже решение, и решать дальше.

-- 09.05.2017, 20:44 --

Т.е. получается уже нашли 2 частных решения: $y = \pm x$.

В тупик я встал дальше: как явно выразить $u$, чтобы наконец-то получить общее решение?

[пианист]

Так Вам что все-таки нужно: зК решить, или перечислить все решения ду?

[Anton.V.Bogachev]

пианист в сообщении #1215231 писал(а):

Так Вам что все-таки нужно: зК решить, или перечислить все решения ду?

Задача Коши: $y(1) = 1$.
Ну сначала же надо найти общее решение, потом подставить значение из условия и выдать ответ? Вот я и пытаюсь найти общее решение.

-- 09.05.2017, 22:02 --

Да, я решаю задачу Коши.

[Someone]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1215217 писал(а):

Т.е. рассматривать 2 уравнения с разными знаками перед корнем?

Когда $x+y>0$, перед корнем должен стоять "$+$", когда $x+y<0$ — "$-$".

Anton.V.Bogachev в сообщении #1215225 писал(а):

как явно выразить $u$, чтобы наконец-то получить общее решение?

Насчёт "выразить" — сплошь и рядом никак. Но это обычно не мешает написать общее решение и решить задачу Коши в неявном виде.

Anton.V.Bogachev в сообщении #1215225 писал(а):

Т.е. получается уже нашли 2 частных решения: $y = \pm x$.

Ага. К начальным условиям их примерьте на всякий случай. А потом и в общее решение начальные условия подставьте. Вдруг решение не единственное…