Замкнутость множества, внутренние точки

[ferlon]

Добрый день!
Хотелось бы задать несколько вопросов по поводу следующей задачи:
Требуется доказать, что множество $E=\{x\in l_{2} : x^{1} + x^{2} \geqslant 0\}$ замкнуто в $l_{2}$ и указать все внутренние точки этого множества. Метрическое пространство $l_{2}$ задается как $l_{2} = \{x=(x^{(1)}, x^{(2)}, ...) : \sum\limits_{k=1}^{\infty}(x^{(k)})^{2} < \infty \}$ с функцией расстояния $d(x,y) = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty}(x^{(k)} - y^{(k)})^{2}}$

Замкнутость я доказывал так:
Пусть $k$ - предельная точка $E$. Тогда $\exists\{k_{n}\}\in E : k_{n} \xrightarrow {n\rightarrow \infty} k$.
Сходимость в $l_{2}$ влечет покоординатную сходимость, а значит, верно следующее:
$k_{n}^{(1)} \xrightarrow {n\rightarrow \infty} k^{(1)}$
$k_{n}^{(2)} \xrightarrow {n\rightarrow \infty} k^{(2)}$
И так далее.

По условию имеем, что $k_{n}^{(1)} + k_{n}^{(2)} \geqslant 0$. А значит, при предельном переходе $n \rightarrow \infty$ верно следующее: $k^{(1)} + k^{(2)} \geqslant 0$. Значит, $k \in E$. В силу произвольности выбора точки $k$ делаем вывод, что $E$ замкнуто в $l_{2}$.

-----
Соответственно, вопросы следующие:
1) Верно ли доказательство замкнутости множества $E$?
2) Каким образом можно найти все внутренние точки данного множества?

Спасибо за ответы!

[demolishka]

ferlon в сообщении #1214196 писал(а):

1) Верно ли доказательство замкнутости множества $E$?

Верно.

ferlon в сообщении #1214196 писал(а):

2) Каким образом можно найти все внутренние точки данного множества?

Нужно разобраться как выглядит открытый шар в $l^{2}$. Ну а потом посмотреть на то, как задается множество, а точнее --- на соответствующее неравенство в его определении.

А еще лучше начать со случая плоскости. Вот есть на плоскости множество $\{x_{1} + x_{2} \geq 0\}$. Какие его точки --- внутренние, а какие --- граничные?

[mihaild]

1. Да, верно.
2. Можете выписать, при каком условии $\varepsilon$-окрестность точки $x \in E$ целиком содержится в $E$?

[ferlon]

demolishka в сообщении #1214198 писал(а):

Нужно разобраться как выглядит открытый шар в $l^{2}$. Ну а потом посмотреть на то, как задается множество, а точнее --- на соответствующее неравенство в его определении.

Да, конечно. Открытый шар в $l_{2}$ будет выглядеть следующим образом: $O_{\delta}(k) = \{x \in E : d(x,k) < \delta \}$. Точка $k$ будет внутренней точкой $E$, если $\exists \delta : O_{\delta}(k)\subset E$.
Требуется ли здесь построить некую зависимость $\delta$ от $k$?

demolishka в сообщении #1214198 писал(а):

А еще лучше начать со случая плоскости. Вот есть на плоскости множество $\{x_{1} + x_{2} \geq 0\}$. Какие его точки --- внутренние, а какие --- граничные?

Граничные -- это все такие, что $x_{2} = -x_{1}$, а внутренние -- это все остальное.

[demolishka]

Ну хорошо, только здесь

ferlon в сообщении #1214200 писал(а):

Граничные -- это все такие, что $x_{2} = -x_{1}$

я бы написал $x_{1}+x_{2}=0$, а тут

ferlon в сообщении #1214200 писал(а):

а внутренние -- это все остальное.

написал бы, что $x_{1}+x_{2}>0$.

ferlon в сообщении #1214200 писал(а):

Открытый шар в $l_{2}$ будет выглядеть следующим образом:

Я хотел от Вас не совсем такого ответа. Что такое окрестность точки $(x_{1},x_{2})$ на плоскости? Это когда есть некоторая свобода в обе стороны по каждой координате. Именно этой свободы нет у точек вида $x_{1}+x_{2}=0$ в нашем множестве, и она есть у точек вида $x_{1}+x_{2}>0$, потому что строгое неравенство можно "пошевелить" и оно останется строгим.

Так вот. Убедитесь, что в случае $l^{2}$ для открытого шара имеет место та же, но более хитрая свобода, причем для данной задачи эта хитрость не так уж и важна. И строго докажите какие точки будут внутренними, а какие --- граничными. Причем можете свести Вашу задачу к уже решённой задаче на плоскости (подумайте как, это довольно нетрудно).

[ferlon]

demolishka в сообщении #1214203 писал(а):

Причем можете свести Вашу задачу к уже решённой задаче на плоскости (подумайте как, это довольно нетрудно).

В данном случае можно предположить следующее: имеем $\sqrt{(x^{(1)}-k^{(1)})^{2} + (x^{(2)}-k^{(2)})^{2} + Q} < \delta$, где $Q = (x^{(3)}-k^{(3)})^{2} + (x^{(4)}-k^{(4)})^{2} + ... $, тогда на плоскости будем иметь круг с центром в $(k^{(1)}; k^{(2)})$. В этом случае внутренними будут все точки с $k^{(1)} + k^{(2)} > 0$.

Но мне немного непонятно, правильны ли эти рассуждения и если правильны, то как это показать более строго?

[demolishka]

Я предлагаю рассмотреть отображение $\pi \colon l^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ определенное как $\pi (x_{1},x_{2},\ldots) := (x_{1},x_{2})$ и использовать его непрерывность.

[ferlon]

demolishka в сообщении #1214393 писал(а):

Я предлагаю рассмотреть отображение $\pi \colon l^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ определенное как $\pi (x_{1},x_{2},\ldots) := (x_{1},x_{2})$ и использовать его непрерывность.

Да, хорошая идея. Непрерывность этого отображения, как я понял, можно доказать, взяв последовательность элементов в $l^{2}$ и применив всю ту же покоординатную сходимость. Тогда, действительно, задача преобразуется в задачу отыскания внутренних точек множества на плоскости.

Я хотел бы задать еще вопрос по поводу непрерывных отображений: верно ли, что, имея открытое подмножество $D$ в $R^{2}$ и непрерывное отображение $f: l^{2} \to R^{2}$, можно утверждать, что соответствующее подмножество $D^{-1} \subset l^{2}$ также будет открытым? Т.е., действительно ли при непрерывном отображении из открытости образа следует открытость прообраза?

[mihaild]

ferlon в сообщении #1214404 писал(а):

Тогда, действительно, задача преобразуется в задачу отыскания внутренних точек множества на плоскости.

Нужно будет еще что-то сказать. А то образом как всего $l^2$, так и подпространства $x_3 = x_4 = \ldots = 0$ при этом отображении будет вся плоскость, а вот внутренние точки у $l^2$ и этого подпространства разные.

ferlon в сообщении #1214404 писал(а):

Т.е., действительно ли при непрерывном отображении из открытости образа следует открытость прообраза?

Да, это определение непрерывного отображения.

[ferlon]

mihaild в сообщении #1214405 писал(а):

Нужно будет еще что-то сказать. А то образом как всего $l^2$, так и подпространства $x_3 = x_4 = \ldots = 0$ при этом отображении будет вся плоскость, а вот внутренние точки у $l^2$ и этого подпространства разные.

Ну, как мне кажется, можно сказать, что в контексте рассматриваемой задачи значения компонент $\{x^{(3)}, x^{(4)}, ...\} $ нам не представляют интереса, т.к. в выражении открытого шара $\sqrt{(x^{(1)} - k^{(1)})^2 + (x^{(2)} - k^{(2)})^2 + ...} < \delta $ возможно провести замену $Q = ((x^{(3)} - k^{(3)})^2 + (x^{(4)} - k^{(4)})^2 + ...)$, и сказать, что мы всегда сможем взять такое $\delta$, что $(\delta^2 - Q)$ будет требуемой окрестностью.

Поправьте меня, пожалуйста, если я не прав.

[mihaild]

Не очень понятно. Что будет "требуемой" (для чего?) окрестностью чего (и в каком пространстве)?

Я бы посоветовал посмотреть не на двумерное, а на трехмерное пространство: у вас в $\mathbb{R}^3$ есть множество $x_1 + x_2 \getslant 0$, его даже очень легко представить. Какие у него точки внутренние? Как для внутренней точки выбрать $\varepsilon$-окрестность, целиком принадлежащую множеству?
Какие у него точки не внутренние? Как для не внутренней точки в любой $\varepsilon$-окрестности найти точку, не принадлежащую множеству?