Арифметические прогрессии

[mihiv]

Доказать без теоремы Дирихле, что по крайней мере одна из двух прогрессий $5k+2$ и $5k+3$ содержит бесконечно много простых чисел.

[mihaild]

Если в обеих конечно - перемножим их все, получим число с ненулевым остатком по модулю $5$. Прибавим либо вычтем $1$ - получим число с остатком $2$ либо $3$. А т.к. произведение чисел, дающих остаток $1$ либо $4$, дает остаток $1$ либо $4$, то у полученного числа есть простой делитель, дающий остаток $2$ либо $3$, который непонятно почему не попал в наше произведение...

[mihiv]

mihaild

Я примерно так и думал доказывать, но мне кажется, все-таки ошибся, потому что непонятно, что делать, если после перемножения получится число с остатком 2.

[mihaild]

Получилось число $5k + 2$. Какие простые множители у числа $5k + 3$?

[mihiv]

Но $5k+3$ уже четное, и дальше неясно, какие там множители.

[mihaild]

$5k + 3$ нечетное, т.к. $5k + 2$ четное - оно делится на все простые числа вида $5n + 2$, в частности, на $2$.

[mihiv]

А, теперь понял. Произведение получается четным, так что все правильно.