Вычислить определитель

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Подскажите, пожалуйста, как можно доказать тождество
\begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 \cdots a_1^{n-2} & a_1^n \\ 1 & a_2 & a_2^2 \cdots a_2^{n-2} & a_2^n \\ \vdots && \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 \cdots a_n^{n-2} & a_n^n \end{vmatrix}=$(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 \cdots a_1^{n-2} & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2^2 \cdots a_2^{n-2} & a_2^{n-1} \\ \vdots && \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 \cdots a_n^{n-2} & a_n^{n-1} \end{vmatrix}

[Brukvalub]

Никак не доказать, поскольку определитель бывает только у квадратных матриц.

[Lia]

Brukvalub
В первом предпоследний столбец нетипичный. (Или последний :) Как посмотреть.)

[Brukvalub]

Lia, спасибо! Это я сослепу прозевал, что один столбец пропущен.

[Lia]

А я сама сперва прозевала :) Не за что.

[Brukvalub]

Можно попробовать рассуждать стандартно: слева и справа стоЯт многочлены от переменных $a_i$, причем справа - стандартный Вандермонд, домноженный на сумму всех переменных. Если доказать,что левая часть делится на сумму переменных и на все их нетривиальные разности, то есть она зануляется при $a_1=-a_2-a_3-\cdots-a_n$ и при $a_i=a_j , i\neq j$ , а потом сравнить, скажем, старшие коэффициенты, то все докажется.

[Xaositect]

Это задача на интерполяцию :) Многочлен $\prod (x - a_i)$ равен $0$ во всех точках $a_i$, откуда легко получить разложение последнего столбца левого определителя по столбцам правого.