Уравнение в простых числах

[Ktina]

Решить в простых числах уравнение:

$$p^2+p=q^4+q^3+q^2+q$$

[atlakatl]

5 и 2.
Дальше не знаю.

[Dmitriy40]

А других видимо и нет, т.к. уравнение $p^2+p=y, \, y=q^4+q^3+q^2+q$ не имеет других не то что простых, а даже и целых решений для простых $q<10^{10}$.

[maxal]

Ktina в сообщении #1213374 писал(а):

Решить в простых числах уравнение:

$$p^2+p=q^4+q^3+q^2+q$$

Это уравнение задает эллиптическую кривую, и все целые точки на ней можно вычислить.

А вообще уравнение имеет вид $\frac{p^3-1}{p-1} = \frac{q^5-1}{q-1}$ и подпадает под https://en.wikipedia.org/wiki/Goormaghtigh_conjecture

[venco]

Можно тупо подставить $p=q^2+a$ и вычислить $a$.
Потом ограничить дискриминант квадратами снизу и сверху (при $q\ge 2$), и в конечном счёте получить:

$$8q^2+4q-1<8p\le 8q^2+4q$$

причём равенство достигается только при $q=2$.
T.e. $p=5,q=2$ - единственное решение.

Да, и $a$ тут лишнее, просто таким путём я шёл.

[Shadow]

Для простого $p$:

$p>q^2$

$p(p+1)=q(q+1)(q^2+1)$

Все множители вправо меньше (ну не больше) $p$, так что $p=q^2+1$

[Iam]

Всего 6 решений, см. http://math.hashcode.ru/questions/46956/

[Mihr]

Iam, ссылка интересная. Но здесь сказано: решить в простых числах. Так что решение этой задачи всё-таки одно.