Ограниченность линейного оператора с замкнутым ядром

[Pyphagor]

Доказать, что если ядро линейного оператора,
действующего из одного нормированного линейного пространства в другое - конечномерное
(такие операторы называются конечномерными), замкнуто, то он ограничен.

[Kid Kool]

Если оператор f неограничен, то найдется последовательность

$$\{x_k\} \to 0$$

такая что

$$|f(x_k)| = 1$$

. Пусть

$$(\alpha_{kj})\limits_{j=1}^n$$

- координаты

$$f(x_k)$$

. Т.к. последовательность точек в n-мерном пространстве

$$(\alpha_{kj})\limits_{j=1}^n$$

ограничена, то из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. В дальнейшем будем рассматривать только k, относящиеся к выбранной подпоследовательности.

Итак, путь

$$e_j$$

- какой-нибудь элемент из прообраза

$$f^{-1}(0,0,...,1,0,0,...,0)$$

(j-ый элемент базиса). Можно считать, что он существует, иначе можно уменьшить n.

Рассмотрим

$$y_k = x_k - \sum\limits_{j=0}^n \alpha_{kj}e_j$$

. Пусть

$$z = \sum\limits_{j=0}^n \gamma_je_j$$

, где

$$(\gamma_j)\limits_{j=1}^n$$

- предел последовательности

$$\alpha_{kj}\limits_{j=1}^n$$

. Тогда

$$y_k \to (-z)$$

. Заметим далее, что

$$f(y_k) = 0$$

, а значит, в силу замкнутости ядра, f(-z) = 0, а с другой стороны,

$$f(-z) = (-\gamma_1,...,-\gamma_n)$$

. Получилось, что последовательность точек, лежащих на единичной сфере, сошлась к нулю, чего быть не может. Полученное противоречие доказывает задачу.

[Brukvalub]

Kid Kool писал(а):

Пусть

$$(\alpha_{kj})\limits_{j=1}^n$$

- координаты

$$f(x_k)$$

Это как

[AD]

Brukvalub писал(а):

Kid Kool писал(а):

Пусть

$$(\alpha_{kj})\limits_{j=1}^n$$

- координаты

$$f(x_k)$$

Это как

Оператор по условию конечномерный.

[Brukvalub]

AD писал(а):

Оператор по условию конечномерный.

Pyphagor писал(а):

Доказать, что если ядро линейного оператора,
действующего из одного нормированного линейного пространства в другое - конечномерное
(такие операторы называются конечномерными), замкнуто, то он ограничен.

Как я понял, само пространство, в котором действует оператор, вполне может быть бесконечномерным. Рассмотрим тогда тождественный оператор. Его ядро - конечномерно и замкнуто. И как тогда понимать координаты образа вектора при действии такого оператора ?

[Kid Kool]

Brukvalub писал(а):

Как я понял, само пространство, в котором действует оператор, вполне может быть бесконечномерным.

Да

Brukvalub писал(а):

Рассмотрим тогда тождественный оператор.

Тождественный оператор f:X $\to$ Y существует лишь если X $\subset$ Y, а тогда X тоже конечномерное.

[AD]

Brukvalub, слово "конечномерное" относится к слову "другое [пространство]", а не к слову "ядро". А к слову "ядро" относится слово "замкнуто".

Как там это говорится ... надо "разобрать предложение".

[Kid Kool]

Да, кстати, по условию Y конечномерное, а не ядро оператора!

Добавлено спустя 48 секунд:

AD меня опередил : ))

[Brukvalub]

Выходит, я неверно понял условие и размышлял над совсем другой задачей...Я прочел условие как требование конечномерности именно ядра!

[нг]

я тоже! И удивлялся, почему операторы с конечномерным ядром вдруг кто-то стал называть конечномерными.

[Pyphagor]

Спасибо всем, правда уже нашел решение (длинее, чем предложил $Kid Kool$)
Для линейного функционала совсем просто получается:
Пусть $f$ - неограничен на $B(0,r)$ тогда $ \exists {a_{n}}\ in B(0,r) : f(a_{n})=c_{n} $
$ c_{n} \to infity$ .Не ограничивая общности можно считать $c_{n}>n^2$.
Рассмотрим $p' : f(p')=1$; $p_{n}={\frac {n}^{c_{n}}}*a_{n}$
Теперь $y_{n}=p'+p_{n}-p_{n+1}$ , тогда $f(y_{n})=0;y_{n}\to p' Rightarrow; p'\in Ker(f)$
Противоречие.
P.S. Извините за формулы.

[Pyphagor]

Вот задача которая на мой взгляд не проще предыдущей:
Построить пример такого линейного оператора (или доказать, что
такого не существует), действующего из банахова
в банахово пространство, такого,что ядро и образ
замкнуты, а сам оператор - разрывен(не непрерывен).