Решение уравнения Буссинеска

[mak1610]

Доброго времени суток!

Дано следующее модифицированное уравнение Буссинеска и нужно найти его решение.
$u_{xx} - u_{tt} + u_{x}u_{xx} + u_{xxtt} = 0$.

Я делаю подстановку $u(x,t) = f(x-x_0-vt) = f(\xi)$ и получаю следующее уравнение
$(1-v^2)f'' + f'f''+v^2f'''' = 0$.

Интегрирую, делаю замену $f' = g$ и получаю
$(1-v^2)g+1/2g^2+v^2g''=0$ (уравнение нужно решить для функций $g(\xi)$ с условием $g(\xi), g'(\xi), g''(\xi) \rightarrow 0, \xi \rightarrow \infty$).

Можно еще раз домножить обе части на $g'$ и проинтегрировать еще раз
$(1-v^2)g^2+1/3g^3+v^2(g')^2=0$ (пользуясь все теми же условиями на производные).

Вот дальше как-то не идет совсем. Подскажите, как дальше уже такие дифуры решить (последнюю или предпоследнюю)? Достаточно найти $g(\xi)$. Возможно что это должно свестись как-то к уравнению Кортевега - де Фриза и решения должны выразиться через эллиптические функции Якоби. Может не надо было пока пользоваться ограничением на производные и вести дальше константы интегрирования. Но не получается свести к чему-то разумному. Буду рад любой помощи.

[Red_Herring]

mak1610 в сообщении #1213089 писал(а):

Подскажите, как дальше уже такие дифуры решить

Выразите $g'$ и разделите переменные $g $ и $\xi$

И выучите ОДУ!

[mak1610]

Red_Herring в сообщении #1213091 писал(а):

mak1610 в сообщении #1213089 писал(а):

Подскажите, как дальше уже такие дифуры решить

Выразите $g'$ и разделите переменные $g $ и $\xi$

И выучите ОДУ!

Я пробовал, получается интеграл

$\xi = \int \frac{d g}{\pm \sqrt{-1/3g^3-(1-v^2)g^2}} + C = \int \frac{d g}{\pm g\sqrt{-1/3g-(1-v^2)}} + C$.

Как брать такой интеграл? И как потом выразить функцию $g$?

[Red_Herring]

mak1610 в сообщении #1213092 писал(а):

Как брать такой интеграл?

Стандартной подстановкой