Применение теоремы Борсука - Улама

[gogoshik]

Могли бы проверить некоторые практические выводы использующие теорему Борсука-Улама, плиз!
В задаче нужно найти верные утверждения (мои ответы выделены):
1 - На земном шаре найдутся две диаметрально противоположные точки, в которых наблюдается одни и те же температура и давление. - Верно.
2 - На экваторе найдутся две диаметрально противоположные точки, в которых наблюдается одни и те же температура и давление. - Не верно.
3 - На экваторе найдутся две диаметрально противоположные точки, в которых наблюдается одна и та же температура. - Верно.
4 - На земном шаре найдутся две диаметрально противоположные точки, в которых наблюдается одна и та же температура. - Не верно.
Спасибо!

[Dan B-Yallay]

gogoshik в сообщении #1212687 писал(а):

1 - На земном шаре найдутся две диаметрально противоположные точки, в которых наблюдается одни и те же температура и давление. - Верно.

gogoshik в сообщении #1212687 писал(а):

4 - На земном шаре найдутся две диаметрально противоположные точки, в которых наблюдается одна и та же температура. - Не верно.

[gogoshik]

Оно как бы да, выглядит не естественно. Если верно для двух, то тем более должно быть верно и для одного параметра.
Хотя меня смущает то что теорема работает только для непрерывных отображений $S^n \to R^n$ (размерности должны совпадать). И получается что для варианта 1 - $S^2 \to R^2$, а для 4 - $S^2 \to R^1$ - в этом случае не обязана работать.

[kp9r4d]

Почему бы не взять $f(x) = (\text{Температура}(x),\text{Температура}(x))$?

[Dan B-Yallay]

gogoshik в сообщении #1212697 писал(а):

Хотя меня смущает то что теорема работает только для непрерывных отображений $S^n \to R^n$ (размерности должны совпадать). И получается что для варианта 1 - $S^2 \to R^2$, а для 4 - $S^2 \to R^1$ - в этом случае не обязана работать.

Ну тогда возьмите меридиан или экватор и заставьте теорему работать так, как Вам нравится.

[grizzly]

gogoshik в сообщении #1212687 писал(а):

3 - На экваторе найдутся две диаметрально противоположные точки, в которых наблюдается одна и та же температура. - Верно.
4 - На земном шаре найдутся две диаметрально противоположные точки, в которых наблюдается одна и та же температура. - Не верно.

Вот эти пункты выглядят не менее противоречиво.

gogoshik в сообщении #1212697 писал(а):

в этом случае не обязана работать.

Из "что-то не доказывает Утверждение X" не следует, вообще говоря, что утверждение X -- ложно.

[Someone]

gogoshik в сообщении #1212697 писал(а):

Хотя меня смущает то что теорема работает только для непрерывных отображений $S^n \to R^n$ (размерности должны совпадать). И получается что для варианта 1 - $S^2 \to R^2$, а для 4 - $S^2 \to R^1$ - в этом случае не обязана работать.

В последнем случае представьте себе, что прямая вложена в плоскость. У Вас сразу получится отображение $S^2\to R^2$.

[alhimikoff]

Точки с одинаковой температурой найдутся и на шаре и на экваторе, а с одинаковыми температурой и давлением - хрен знает, но вроде нет.
Выберем 2 противоположные точки, пусть температуры в них разные и построим графики температуры от пройденного расстояния, двигаясь по разным полукругам. Очевидно, что эти графики пересекутся. Эта точка и даст искомые диаметрально противоположные точки.

Теперь давление. Соединим кривой точки, имеющие такую же температуру напротив, пройдясь по меридианам. Получатся из соображений непрерывности 2 замкнутые кривые друг напротив друга. На этих кривых назначим разные давления в диаметрально противоположных точках, в остальных местах как угодно, температура то там разная. Это пример, когда двух точек с одинаковыми температурой и давлением нет.

[grizzly]

alhimikoff в сообщении #1213950 писал(а):

Соединим кривой точки, имеющие такую же температуру напротив, пройдясь по меридианам. Получатся из соображений непрерывности 2 замкнутые кривые друг напротив друга.

Почему Вы решили, что эти точки можно соединить непрерывной кривой? Первый контрпример, который приходит в голову -- изолированные точки (диаметрально противоположные, с одинаковой температурой).

[alhimikoff]

grizzly
Ну да, точки всё же есть: http://kvant.mccme.ru/1983/08/teorema_borsuka-ulama.htm.
А есть ли диаметрально противоположные точки, где ТРИ параметра одинаковы?

[grizzly]

alhimikoff в сообщении #1214262 писал(а):

А есть ли диаметрально противоположные точки, где ТРИ параметра одинаковы?

Совсем не обязательно. Для трёх параметров легко построить контрпример.

(Не стоит продолжать в чужой теме. Если остались ещё вопросы -- создайте новую.)