Также спрашивала тут:
http://www.cyberforum.ru/discrete-mathe ... 67377.htmlи тут
http://eek.diary.ru/p212607597.htmЗдравствуйте. Никак не могу уцепиться и понять, с чего начать.
Нужно доказать, что система четверок Штейнера порядка 10 единственна с точностью до изоморфизма.
Строили мы ее по принципу сначала выписываются все строки, колонки и диагонали матрицы
Т.е. получилось
{1 2 3 10},{4 5 6 10},{7 8 9 10},
{1 4 7 10},{2 5 8 10},{3 6 9 10},
{1 5 9 10},{3 5 7 10},{2 6 7 10},
{4 8 3 10},{2 4 9 10},{1 6 8 10}.
Это 12 четверок.
Далее рассматривались все подматрицы размера 2х2.
{1 2 4 5}, {2 3 5 6}, {4 5 7 8},
{5 6 8 9}, {1 3 7 9}, {2 3 8 9},
{1 2 7 8}, {1 3 4 6}, {4 6 7 9}
Это дало еще 9 четверок.
И затем еще 9 четверок получили при выборе двух элементов в столбце, а затем двух элементов в непересекающейся с выбранными элементами строке, т.е., например, получилась четверка {2,3,4,7}.
{2 3 4 7}, {1 4 8 9}, {3 6 7 8},
{2 5 7 9}, {1 3 5 8}, {3 4 5 9},
{1 5 6 7}, {1 2 6 9}, {2 8 4 6}
Достаточно ли тут будет просто взять две четверке и найти перестановку, которая превращает одну в другую? Но ведь это всего два варианта, а их может быть больше.
Или опираться на то, что строилось все по матрице, а перестановка ничего с матрицей такого не сделает, чтобы нельзя было повторить эту процедуру.
Или весь вопрос уникальности сводится к вопросу "все ли пути выбора подматриц эквивалентны?". И здесь как бы получается, что мы ведь можем вычеркнуть любой столбец из трех и независимо любую строку из трех и получить подматрицу. Отсюда и получается 3х3=9 возможностей. Но это объяснение мне кажется каким-то странно простым (или неправильным). Или нужно еще рассматривать эквивалентность выбора вот этих вот "махинаций", которые дают еще 9 четверок.
Может надо использовать то, что STS(9) единственна. Ну вроде как SQS(10) это своеобразное расширение.
Один из случаев, возможно, переборный, но мне он кажется долгим, должно быть какое-то очевидное решение на поверхности.
В общем, помогите, пожалуйста, определиться, что тут надо сделать :)
