Теорема о неравномощности множеств

[gogoshik]

Пытаюсь понять доказательство теоремы Кантора, в которой утверждается что любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Застрял на таком моменте: $f$ - биекция, а $B \subseteq A$, поэтому существует $y \in A$ такой, что $f(y)=B$.
Почему это вдруг обязан существовать такой $y$, ведь такого элемента может и не оказаться!
Прошу помочь мне, плиз! Только не надо мой топик определять в Пургаторий, а то я уже предварительно посмотрел в поиске что многие темы про эту теорему оказываются именно там.

[Dan B-Yallay]

gogoshik в сообщении #1212285 писал(а):

Застрял на таком моменте: $f$ - биекция, а $B \subseteq A$, поэтому существует $y \in A$ такой, что $f(y)=B$.
Почему это вдруг обязан существовать такой $y$, ведь такого элемента может и не оказаться!

А биекция $f$ из "откуда" и в "куда"?

[Xaositect]

Вы явно что-то неправильно переписали, так что давайте точно ссылку на книгу, по которой Вы разбираете доказательство и какой именно шаг доказательства Вам непонятен.

[gogoshik]

Dan B-Yallay в сообщении #1212288 писал(а):

А биекция $f$ из "откуда" и в "куда"?

Xaositect в сообщении #1212290 писал(а):

Вы явно что-то неправильно переписали, так что давайте точно ссылку на книгу, по которой Вы разбираете доказательство и какой именно шаг доказательства Вам непонятен.

Биекция между исходным множеством $A $ и множеством его подмножеств.

Теорема Кантора - третье предложение.

[Xaositect]

А, теперь понятно. У нас $f$ - биекция между $A$ и $2^A$. Что такое биекция?

[gogoshik]

Xaositect в сообщении #1212292 писал(а):

Что такое биекция?

Взаимно однозначное соответствие между элементами множеств.

[Xaositect]

gogoshik в сообщении #1212294 писал(а):

Взаимно однозначное соответствие между элементами множеств.

Это, конечно, правда, но это синоним, а нужно определение. Определение знаете?

[gogoshik]

Биекция - это отображение, которое одновременно сюръективно и инъективно.

[Xaositect]

Отлично. Вот у нас есть биекция $f\colon A \to 2^A$. Она сюрьективна, то есть для любого элемента $B \in 2^A$ есть прообраз $y$ такой, что $f(y) = B$.

[gogoshik]

Xaositect в сообщении #1212299 писал(а):

Отлично. Вот у нас есть биекция $f\colon A \to 2^A$. Она сюрьективна, то есть для любого элемента $B \in 2^A$ есть прообраз $y$ такой, что $f(y) = B$.

Это вполне может быть. А как быть с тем, что до этого предполагается, что существует $B$ у которого $x\notin f(x)$, ведь Вы говорите что для любого элемента $B \in 2^A$ есть прообраз $y$ такой, что $f(y) = B$?

[Xaositect]

gogoshik в сообщении #1212304 писал(а):

что существует $B$ у которого $x\notin f(x)$,

бессмысленный набор слов.

$B = \{x \in A \mid x \notin f(x)\}$ - это множество всех $x$ из $A$, удовлетворяющих условию $x\notin f(x)$. Оно существует по аксиоме выделения. $B$ есть подмножество $A$, то есть $B \in 2^A$. Значит, существует его прообраз $y \in A$, $f(y) = B$, по предположению о биективности $f$.

[gogoshik]

Xaositect в сообщении #1212305 писал(а):

Оно существует по аксиоме выделения

Объясните пожалуйста, что это за аксиома?

[Xaositect]

gogoshik в сообщении #1212306 писал(а):

Объясните пожалуйста, что это за аксиома?

Если есть некоторое множество $A$ и некоторое условие $P(x)$, то существует множество $\{x \in A \mid P(x)\}$, содержащее все элементы $A$, для которых это условие верно.

Есть на той же вики: тут (схема выделения)

[gogoshik]

Xaositect в сообщении #1212305 писал(а):

$B = \{x \in A \mid x \notin f(x)\}$ - это множество всех $x$ из $A$, удовлетворяющих условию $x\notin f(x)$. Оно существует по аксиоме выделения.

C этим абсолютно согласен. Спасибо.

Цитата:

$B$ есть подмножество $A$, то есть $B \in 2^A$.

И с этим.

Цитата:

Значит, существует его прообраз $y \in A$, $f(y) = B$, по предположению о биективности $f$.

"его" - это чей, подмножества $B$?

[mihaild]

gogoshik в сообщении #1212316 писал(а):

"его" - это чей, подмножества $B$?

Да.