Разрезанная замкнутая ломаная

[Ktina]

Замкнутую ломаную разрезали по вершинам на отрезки. Затем в произвольном порядке соединили отрезки в цепочку. Всегда ли из этой цепочки можно получить замкнутую ломаную?

[arseniiv]

Да. Заменим отрезки в исходной ломаной векторами и подкрутим цепочку так, чтобы они были параллельно перенесены, и в каждую вершину входил и выходил ровно один. Теперь мы можем их сложить и получим ноль, как для первой.

Если же рассматриваются только простые ломаные…

[Ktina]

arseniiv в сообщении #1212131 писал(а):

Если же рассматриваются только простые ломаные…

Что такое простая ломаная? И что такое сложная?

[arseniiv]

Простая не имеет самопересечений, т. е. каждый конец каждого звена ломаной есть пересечение его не более чем с одним другим звеном.

-- Пн апр 24, 2017 02:16:19 --

И в других точках звенья не пересекаются.

[ewert]

Ktina в сообщении #1212103 писал(а):

Всегда ли из этой цепочки можно получить замкнутую ломаную?

Эквивалентный вопрос: всегда ли в замкнутой ломаной можно поменять местами любые два соседних звена?

Ответ: очевидно, всегда. Достаточно зеркально отразить соответствующий треугольник.

[DeBill]

ewert в сообщении #1212765 писал(а):

Достаточно зеркально отразить соответствующий треугольник.

Ну да, конечно. Но: могём потерять выпуклость (даже если она и была). А потом потерять и не самопересекаемость...
А давайте строить треугольник: за основание возьмем наибольшее звено, а остальные звенья сложим в два прямолинейных куска. Если тр-к не получился - будем перекладывать по одному звену из большего куска в меньший...
Но вот незадача: может случиться неприятность: разность "меньший кус минус больший "была равна $-a$, где $a$ - основание, и вдруг, при следующем перекладывании, она стала равной $a$. Ну что ж , значит, тр-к не получился. Но зато получился параллелограмм.

[ewert]

DeBill в сообщении #1212787 писал(а):

могём потерять выпуклость (даже если она и была). А потом потерять и не самопересекаемость...

Об этом в условии ничего не было. И это -- отдельная задача: доказать, что ломаную с самопересечениями можно распутать. Ну так очень легко по индукции доказывается, что любую замкнутую ломаную можно развернуть в треугольник. Возможно, вырожденный.