m^2+n^2-mn=40 и x^2+y^2-xy=72

[Ktina]

а) Доказать, что не существует таких целых чисел $m$ и $n$, что

$$m^2+n^2-mn=40$$

б) Доказать, что не существует таких целых чисел $x$ и $y$, что

$$x^2+y^2-xy=72$$

[grizzly]

Ktina в сообщении #1211821 писал(а):

а) Доказать, что не существует таких целых чисел $m$ и $n$, что

$$m^2+n^2-mn=40$$

Оба числа чётные, поэтому можем разделить на 4. Потом то же, но на 4 не делится. Противоречие.

Ktina в сообщении #1211821 писал(а):

б) Доказать, что не существует таких целых чисел $x$ и $y$, что

$$x^2+y^2-xy=72$$

Оба числа чётные, поэтому можем разделить на 4. Потом то же, но на 4 не делится. Противоречие.

[Ktina]

grizzly
Большое спасибо!

Верно ли более общее утверждение, что если вместо 40 поставить любое число, которое делится на 5, но не делится на 25, решений тоже не будет?

[grizzly]

Ktina в сообщении #1211901 писал(а):

Верно ли более общее утверждение, что если вместо 40 поставить любое число, которое делится на 5, но не делится на 25, решений тоже не будет?

Конечно.

[gris]

Пять не более общее, а той же частности, что и два.
А вот, например, три и семь из другой частности:
$2^2+4^2-2\cdot 4=12$ и $4^2+5^2-4\cdot 5=21$

[grizzly]

gris в сообщении #1211912 писал(а):

Пять не более общее, а той же частности, что и два.

ТС обобщал по другому признаку (40 делится на 5, но не на 25).

[gris]

Я обобщаю по тому же. $12$ делится на $3$, но не на $9$. $21$ делится на $7$, но не на $49$.
Я подумал, что обобщение состоит в том, что уравнение не имеет целочисленных решений, если правая часть делится на некоторое простое число, но не на его квадрат. Ну да, ошибся, по-моему

[grizzly]

gris
Да, да, я Вашу идею понял. По модулю некоторых простых можно в левой части получить 0, тогда соответствующее уравнение может иметь решение (если правая часть составлена из таких множителей). Например, для 3,7,13,19,31,37,43...
Тогда для $21=3\cdot 7$ будет решение. И для $39=3\cdot 13$ -- тоже.
Найдётся ли решение для любой правой части составленной из этих множителей?

[gris]

grizzly, ага Просто мне показалось, что доказательство для $5$ не будет столь простым, как для $2$, хотя будет вообще. А вот для $3$ и $7$ такой фокус не пройдёт. Наверное, в любимом ТС арифметическом мосте есть соответствующие теоремы. Но я их не знаю

[Коровьев]

Соответствующие теоремы есть.
И из них следует, что все простые делители алгебраического выражения
$\[a^2 - ab + b^2\]$
при взаимно простых $a,b$ могут быть только простые числа вида $\[P = 3n + 1\]$ в любой степени и $\[P = 3\]$ в первой степени.