Неравенства-близнецы

[Edward_Tur]

Пускай $x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n $ произвольные положительные числа. Доказать неравенства-близнецы:
$\frac{{x_1 }}{{1 + x_1^2 }} + \frac{{x_2 }}{{1 + x_1^2 + x_2^2 }} + \ldots + \frac{{x_n }}{{1 + x_1^2 + \ldots + x_n^2 }} < \sqrt n $ (Shortlist IMO 2001)

и

$\frac{1}{{1 + x_1^2 }} + \frac{1}{{1 + x_1^2 + x_2^2 }} + \ldots + \frac{1}{{1 + x_1^2 + \ldots + x_n^2 }} < \sqrt {\frac{1}{{x_1^2 }} + \frac{1}{{x_2^2 }} + \ldots + \frac{1}{{x_n^2 }}} $ (Украинская Internet MO 2005)

[e2e4]

Как-нибудь, да эти неравенства должны сходиться к средним степенным. Уж больно похожи.

[Kid Kool]

Первое неравенство:

заметим, что при $x_k \geqslant \sqrt {1+...+{x_{k-1}^2}$ функция убывает по $x_k$. Поэтому максимальное значение ее достигается, когда выполнено $x_k \leqslant \sqrt{1 + ... + {x_{k-1}}^2}$. Тогда k-ое слагаемое $\leqslant \frac 1 {2{x_k}}$. С другой стороны, при выполнении описанных выше условий $x_k \leqslant \sqrt{k}$, поэтому вся сумма $\leqslant \sum\limits_{k=1}^n \frac 1 {2\sqrt{k}} < \sqrt{n}$