равенство с постоянной Апери

[maxal]

Докажите, что

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} \sum_{j=k}^{\infty} \frac{1}{j\cdot 2^j} = \frac{13}{24}\zeta(3),$$

где $\zeta(3)$ -- постоянная Апери.

(источник)

[sergei1961]

Подскажите, чтобы полениться-второй ряд считается явно из прогрессии, потом однократный ряд сразу не сводится к определению или эквивалентным известным формулам?

[maxal]

sergei1961 в сообщении #1211212 писал(а):

Подскажите, чтобы полениться-второй ряд считается явно из прогрессии, потом однократный ряд сразу не сводится к определению или эквивалентным известным формулам?

Смотря что вы называете "известными формулами". Буду рад увидеть любое решение.

[sergei1961]

Сложнее чем я ожидал. Внутренний ряд равен интегралу

$$ \int_0^{1/2} \frac{t^{k-1}}{1-t}d\,t, $$

ну назовём его по имени неполной бета-функцией, что дальше делать - непонятно. Попробовать внешнее суммирование теперь под интеграл?
Получается что-то вроде такого:

$$ \int_0^{1/2}\frac{Li_2(-t)}{-t(1-t)}d\,t. $$

Я не знаток вопросов связанных с постоянной Апери. Есть для неё такое интегральное представление через полилогарифмы?

[maxal]

sergei1961 в сообщении #1211312 писал(а):

Я не знаток вопросов связанных с постоянной Апери. Есть для неё такое интегральное представление через полилогарифмы?

Посмотрите, например, Sums of generalized harmonic series for kids from five to fifteen.

[sergei1961]

Спасибо, интересная ссылка. Школа А.К.Циха, наверное. Формулы с полилогарифмом похожи на формулы из статьи, но не те. Предел верхний зачем-то 1/2 а не 1. Нет ошибки в расчёте? А нужная формула известная, доказана?