Вейвлет vs Оконное преобразование Фурье.

[RomanShametko]

Приветствую всех)

В каждом учебнике по вейвлет-преобразованию есть строка говорящая примерно следующее: "Оконный Фурье-анализ не позволяет получить высокой степени детализации одновременно во временной и частотной областях: чем уже окно, тем шире носитель спектра и наоборот. Вейвлет-преобразование позволяет получить высокое разрешение по времени и по частоте за счёт сдвигов и масштабирования базисной функции".

Принцип неопределённости Гейзенберга (ну или лимит Габора-Гейзенберга) для вейвлетов работает так же, как и для преобразования Фурье. Следовательно, вейвлеты так же не могут быть локализованы одновременно во временной и частотной областях. Собственно, как и ожидается, при высоком уровне частотной локализации, локализация временная хромает. И наоборот.

Теперь, собственно, вопрос. Что если применить оконное преобразование Фурье таким-же образом, как вейвлет. То есть если веейвлет-преобразование определяется как:

$\hat{f}(a,b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\psi(\frac{t-b}{a})dt$

Пусть $\psi(\frac{t-b}{a}) = w(\frac{t-b}{a})e^{-jwt}$.

Это, разумеется, уже не вейвлет. Но как такое преобразование будет отличаться от вейвлета?

Единственный вариант, который я могу предположить, это различие в размере носителя в частотной области за счёт того, что спектры оконных функций стремятся к нулю гораздо медленнее, чем спектры вейвлетов.

Любые идеи/комментарии/критика приветствуются)

[Red_Herring]

Что такое "окно" и что значит "локализованы"? Дело в том, что если носитель функции$ $f содержится в $[-a,a]$ то её преобразование Фурье $\hat{f}(w)$ аналитично и значит носителем является вся прямая. Другое дело, что если $ab \ge C(s)$, то можно сделать так, чтобы преобразование Фурье удовлетворяло $|\hat{f}(w)|\le M(1+|w|/b)^{-s}$.

[RomanShametko]

В фразе "чем уже окно, тем шире носитель спектра и наоборот" я имел ввиду взаимосвязь размера носителя оконной функции, используемой в преобразовании Фурье, и размера носителя получаемого в результате этого преобразования спектра.

"Следовательно, вейвлеты так же не могут быть локализованы одновременно во временной и частотной областях" -- тут, собственно, то же самое. Речь идёт о том, что нельзяполучить фунцию, носитель которой одновременно и во временной, и в частотной области будет стремиться к виду дельта функции.

Red_Herring в сообщении #1210925 писал(а):

Дело в том, что если носитель функции$ f $ содержится в $[-a,a]$ то её преобразование Фурье $\hat{f}(w)$ аналитично и значит носителем является вся прямая. Другое дело, что если $ab \ge C(s)$, то можно сделать так, чтобы преобразование Фурье удовлетворяло $|\hat{f}(w)|\le M(1+|w|/b)^{-s}$.

Можно чуть подробнее?

[Red_Herring]

RomanShametko в сообщении #1210950 писал(а):

Можно чуть подробнее?

Нет, факт сформулирован полностью (почти, надо сказать, что $f(0)=1$), а доказательство на поля не влезает

[Евгений Машеров]

Чисто прагматический взгляд.
Противопоставление вейвлетов оконному Фурье-анализу больше в мнении, чем в практике. Существуют "переходные формы", например, преобразование Габора с функцией Габора
$f(x)=e^{{-(x-x_{0})^{2}/a^{2}}}e^{{-ik_{0}(x-x_{0})}}$
вместо синусов/косинусов, которое можно рассматривать и как оконное преобразование Фурье с гауссовым окном, и как вейвлет (собственно, вейвлет Морле, морлет, отличается только поправкой для того, чтобы среднее значение было ноль, и нормирующим множителем.
$\Psi_{\sigma}(t)=c_{\sigma}\pi^{-\frac{1}{4}}e^{-\frac{1}{2}t^{2}}(e^{i\sigma t}-\kappa_{\sigma})$

-- 21 апр 2017, 09:30 --

Преимущество вейвлетов не в том, что они позволяют волшебным путём обойти соотношение неопределённости. Улучшая временное разрешение, ухудшаем частотное и наоборот. Неизбежно, как смерть и налоги. Но можно маневрировать.
Оконное преобразование Фурье не даст временного разрешения лучше, чем определяется длиной окна, и это для всех частот. Вейвлеты, как они обычно используются, имеют разную длину для разных частот (магическое слово "самоподобие"), и чем выше частота, тем выше временное разрешение. А на практике нередок случай, когда более высокочастотные составляющие и более изменчивы по амплитуде во времени, низкочастотные же более устойчивы. И тогда это свойство вейвлетов, "самоподстройка под скорость изменений", хорошо играет. Разумеется, это не некий общий и всегда действующий закон, а просто часто встречающееся свойство, и то, что оно часто встречается, даёт основания хотя бы попробовать вейвлеты, с большой вероятностью, что и в данном случае они окажутся полезны. Но могут и не оказаться. Или оказаться, но не такие (скажем, не синусоидовидные морлеты или плавная "мексиканская шляпа", а разрывные хааровские или там "французская шляпа").

[sergei1961]

Степенное убывание Фурье-разве не влечёт гладкости самой функции, наличие соответствующего числа производных? Тогда это надо потребовать от функции сразу, тогда не всё написано.