Сходимость ряда

[Treunos]

Доброго времени суток. Задача: исследовать ряд на сходимость. Ниже приведу два умозаключения, которые приводят к проитвоположным результатам. Подскажите пожалуйста, где (во втором случае) ошибка?

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n \!\!\!\cdot \left( \frac53 \right)^n $$

1) Вычислим предел общего члена:

$$\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{15n-5}{15n+9} \right)^n \!\! =\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{1-\frac{1}{3n}}{1+\frac{3}{5n}} \right)^n \!\! =\frac{e^{-1/3}}{e^{-3/5}} \neq 0.$$

Так как предел общего члена не равен нулю, то данный ряд расходится.

2) Используем признак сравнения:

$$\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n \!\!\!\cdot \left( \frac53 \right)^n\!\!\leqslant\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n,$$

для последнего испоьзуем радикальный признак Коши:

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n} \!\! =\frac35 < 1,$$

значит по радикальному признаку Коши исследуюемый ряд сходится $\Rightarrow$ по признаку сравнения исходный ряд тоже сходится.
По всей видимости я допускаю ошибку, когда произвожу сравнение, но сейчас что - то туплю и не могу понять, какую именно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не надо такие темы в "Общих вопросах" размещать.

[Brukvalub]

Treunos в сообщении #1210641 писал(а):

1) Вычислим предел общего члена:

$$\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{15n-5}{15n+9} \right)^n \!\! =\lim\limits_{n \to \infty}\left( \frac{1-\frac{1}{3n}}{1+\frac{3}{5n}} \right)^n \!\! =\frac{e^{-1/3}}{e^{-3/5}} \neq 0.$$

В знаменателе - ошибка в знаке.

Treunos в сообщении #1210641 писал(а):

2) Используем признак сравнения:

$$\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n \!\!\!\cdot \left( \frac53 \right)^n\!\!\leqslant\left( \frac{3n-1}{5n+3} \right)^n,$$

Неравенство не в ту степь сторону.

[Treunos]

Brukvalub
Со знаком опечатался. А вот с неравенством огромное Вам спасибо, невнимательность - зло.