Как дифференцировать недифференцируемое (случайные процессы)

[realeugene]

В учебнике И. К. Волков, С. М. Зуев, Г. М. Цветкова "Случайные процессы" http://www.enu.kz/repository/repository ... ocessi.pdf на стр. 89 (в файле стр. 87) в Примере 3.5 написано, что стационарный случайный процесс с ковариационной функцией $K_\xi\left(\tau\right)=\sigma^2\exp\left(-\alpha^2\left|\tau\right|\right)$ дифференцируем (в необобщённом смысле данного в этом разделе учебника определения), так как

$$\lim_{\tau\to+0}K_\xi''\left(\tau\right)=\sigma^2\alpha^2=\lim_{\tau\to-0}K_\xi''\left(\tau\right).$$

Но, ведь, дисперсия производной стационарного случайного процесса равна $-K_\xi''\left(0\right)$, и она в силу написанного выше предела отрицательна. И это чушь. Что я не понимаю?

Сходимость всюду среднеквадратичная.

[Brukvalub]

realeugene в сообщении #1209824 писал(а):

Но, ведь, дисперсия производной стационарного случайного процесса равна $-K_\xi''\left(0\right)$

Как вы это узнали?

[realeugene]

Brukvalub в сообщении #1209847 писал(а):

Как вы это узнали?

Прочитал в том же учебнике на стр. 88 (86 в файле) Следствие 3.3 Теоремы 3.7

[Brukvalub]

Так это, вроде, формула для ковариационной матрицы производной, о чем прямо в тексте и написано.

[realeugene]

Brukvalub в сообщении #1209854 писал(а):

Так это, вроде, формула для ковариационной матрицы производной, о чем прямо в тексте и написано.

Да, моя вина, не упомянул, что в примере рассматривается скалярный случайный процесс. Так что, упомянутая ковариационная матрица состоит из одного элемента, равного дисперсии.

[Евгений Машеров]

Минус на минус...

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1209865 писал(а):

Минус на минус...

Так там, ведь, три минуса.

[Евгений Машеров]

Откуда третий? Каков знак второй производной в точке максимума?

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1209872 писал(а):

Откуда третий? Каков знак второй производной в точке максимума?

В точке максимума $K_\xi\left(\tau\right)$ недифференцируема, так что, приходится рассматривать пределы. Для $\tau\ne0$ у второй производной там везде плюс, конечно, что, также, очевидно и из графика функции. Кроме того, есть ещё минус в упомянутой формуле для ковариации, который и даёт странный минус для дисперсии в результате.

[ShMaxG]

Я могу ошибаться, но мне кажется, что чушь возникает потому, что этот процесс не дифференцируем в среднем квадратичном. Процесс дифференцируем в среднем квадратичном в точке $t_0$ тогда и только тогда, когда 1) его математическое ожидание дифференцируемо в точке $t_0$ и 2) существует предел

$$\lim\limits_{\varepsilon,\delta\to0}\frac{1}{\varepsilon \delta}\left(K(t_0+\varepsilon,t_0+\delta)-K(t_0+\varepsilon,t_0)-K(t_0,t_0+\delta)+K(t_0,t_0)\right)$$

Этот предел еще называют обобщенной производной (к обобщенным функциям он не имеет отношения). И для указанной функции этот предел не существует. Не существует он попросту потому, что его значение зависит от пути в пространстве $(\varepsilon,\delta)$. Если взять $\varepsilon=\delta>0$, то предел будет равен $+\infty$, а если взять $\varepsilon=-\delta>0$, то предел будет равен $-\sigma^2\alpha^4$. Когда авторы устремляют $\tau=t_2-t_1$ к нулю, они идут по пути $\varepsilon=-\delta$ и получают конечный предел. Но в доказательстве теоремы возникает именно тот предел, который я выписал наверху, а не те, которые они рассматривают.

Этот предел -- не то же самое, что существование второй смешанной производной, это более сильное свойство. Этот предел отличается от второй смешанной производной так же, как отличается предел функции двух переменных от повторного предела.

[realeugene]

ShMaxG в сообщении #1209897 писал(а):

Процесс дифференцируем в среднем квадратичном в точке $t_0$ тогда и только тогда, когда 1) его математическое ожидание дифференцируемо в точке $t_0$ и 2) существует предел...

Правдоподобно. А это теорема из какого именно учебника?
Авторы обсуждаемого учебника привели этот процесс именно как пример дифференцируемого процесса.

(Оффтоп)

Просто, я решил освежить и систематизировать свои знания в этой области с упором на практику, нарыл в сети вроде бы приличный учебник для инженеров (а Бауманка всегда была далеко не последним ВУЗом, хоть и не Физтех, конечно) и начал его читать и прорёшивать задачи. И обнаружил, что мои ответы на задачи из главы учебника про стохастический анализ нередко расходятся с авторскими ответами. Как пример - задача 3.14. Пытаясь понять, где я грубо ошибаюсь, я и дошел до самого раннего примера из учебника, который я не понимаю.

[ShMaxG]

realeugene в сообщении #1209903 писал(а):

Правдоподобно. А это теорема из какого именно учебника?

Есть три строгих учебника, которые мне нравятся, там эта теорема есть:

[1] Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007
[2] Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005
[3] Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977

[realeugene]

ShMaxG в сообщении #1209906 писал(а):

Есть три строгих учебника, которые мне нравятся, там эта теорема есть:

Ага, спасибо!

[realeugene]

ShMaxG в сообщении #1209897 писал(а):

Я могу ошибаться, но мне кажется, что чушь возникает потому, что этот процесс не дифференцируем в среднем квадратичном.

На самом деле, это ковариационная функция белого шума, пропущенного через ФНЧ первого порядка. Так что, такой процесс дифференцируем в точности том же самом смысле, как и винеровский. И авторы учебника, явно, поторопились использовать этот процесс в качестве примера дифференцируемого процесса в разделе про стохастический анализ.

С другой стороны, без дифференцирования подобных процессов обойтись сложно, но придать строгий смысл подобной производной, наверное, можно только в рамкой теории, непротиворечиво описывающей белый шум как случайный процесс.

Тем не менее, бауманский учебник, на мой взгляд, неплох при всей его нестрогости, но из-за огромного количества мелких ошибок и опечаток пользоваться им как справочником должно быть затруднительно.

[profrotter]

realeugene в сообщении #1210105 писал(а):

На самом деле, это ковариационная функция белого шума, пропущенного через ФНЧ первого порядка.

Это ковариационная функция экспоненциально-коррелированного процесса. Сам процесс не определяется однозначно своей ковариационной функцией. Такую же, например, имеет и телеграфный сигнал.