Распределение разности двух случайных величин

[ShMaxG]

Anton.V.Bogachev
У меня есть ощущение, что на самом деле надо решить уравнение

$$\int\limits_{-\infty}^{t}f_1(x)dx=1-C$$

относительно $t$. Так находят $(1-C)$-квантиль соответствующего распределения, а $C$ -- это какой-нибудь уровень значимости $\alpha$ или $\varepsilon$. Из статистики это. И раз уж так, то вот ответ: по таблицам или численно на компьютере.

[Anton.V.Bogachev]

Otta в сообщении #1209696 писал(а):

Странная задача. Определенный ответ можно дать только при $C>1$ и $C<0$.

Это все условие? Какова задача была в исходной формулировке?

Это я решил подойти к исходной задаче с другой стороны. ((
Ок, задача стояла так: две случайные величины, распределенные по экспоненте (параметр $\frac{1}{\lambda}$) и гамме (параметры $k$ и $\frac{1}{\gamma}$), надо найти функцию плотности их разности. Я как-то задавал подобный вопрос на этом форуме, но там была немного другая ситуация.

Плотности:
$f_{\xi} (x) = \frac{1}{\lambda} e^{-x / \lambda}$,
$f_{\eta} (x) = \frac{x^{k-1} e^{-x / \gamma}}{\gamma^k \Gamma(k)}$

Для $x > 0$ у меня получилось:
$P(\xi - \eta < x) = 1 - \frac{e^{-x/\lambda} \lambda^k}{(\lambda + \gamma)^k}$,
плотность легко находится.

Для $x < 0$ же возникли проблемы:
$P(\xi - \eta < x) = \frac{1}{\gamma^k \Gamma(k)} \int_{-x}^{\infty} t^{k-1} e^{-t/\gamma} (1 - e^{\frac{-x-t}{\lambda}}) dt$.
$f(x) = \frac{e^{-x/ \lambda}}{\lambda \gamma^k \Gamma(k)} \int_{-x}^{+\infty} t^{k-1} e^{\frac{-t(\lambda + \gamma)}{\lambda \gamma}} dt$.

Суть в том, что я примерно знаю, какой должен получиться ответ, и в нем никаких неполных гамма-функций нет. Вот я и хотел проверить, что на области определения функция плотности равна 1, а из этого уравнения найти нужную плотность.

[Lia]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1209703 писал(а):

Я как-то задавал подобный вопрос на этом форуме, но там была немного другая ситуация.

Темы ТС объединены.

[ShMaxG]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1209703 писал(а):

Суть в том, что я примерно знаю, какой должен получиться ответ, и в нем никаких неполных гамма-функций нет.

Скажите, какой по-Вашему должен получиться ответ и почему?

[Otta]

Anton.V.Bogachev

Anton.V.Bogachev в сообщении #1209703 писал(а):

и в нем никаких неполных гамма-функций нет.

Это возможно, - если, например, Вы полагаете $k$ (ранее $\alpha$) целым, но забыли всем об этом сообщить.

[Anton.V.Bogachev]

Otta в сообщении #1209773 писал(а):

Anton.V.Bogachev

Anton.V.Bogachev в сообщении #1209703 писал(а):

и в нем никаких неполных гамма-функций нет.

Это возможно, - если, например, Вы полагаете $k$ (ранее $\alpha$) целым, но забыли всем об этом сообщить.

Я не понимаю, как это возможно при целом $k$, если честно. Про этот параметр мне отдельно не говорили, но пусть это будет так. Как это условие упрощает функцию плотности при $x < 0$?

[ShMaxG]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1209788 писал(а):

Я не понимаю, как это возможно при целом $k$, если честно

Сделайте замену $z=t+x$, там под интегралом полином возникнет. Потенциально можно на слагаемые разбить, будет несколько гамма-функций.

[Anton.V.Bogachev]

ShMaxG в сообщении #1209804 писал(а):

Anton.V.Bogachev в сообщении #1209788 писал(а):

Я не понимаю, как это возможно при целом $k$, если честно

Сделайте замену $z=t+x$, там под интегралом полином возникнет. Потенциально можно на слагаемые разбить, будет несколько гамма-функций.

Спасибо за подсказку, что-то наклюнулось.

Потенциально. ((

$f(x) = \frac{e^{-x/ \lambda}}{\lambda \gamma^k \Gamma(k)} \int_{-x}^{+\infty} t^{k-1} e^{\frac{-t(\lambda + \gamma)}{\lambda \gamma}} dt$ - было.

Делаю замену:

$f(x) = \frac{e^{-x/ \lambda}}{\lambda \gamma^k \Gamma(k)} \int_{0}^{+\infty} (z - x)^{k-1} e^{\frac{-z(\lambda + \gamma)}{\lambda \gamma}} dz$

Далее придумал применить бином Ньютона (или можно по-другому?):
$f(x) = \frac{e^{-x/ \lambda}}{\lambda \gamma^k \Gamma(k)} \sum_{i=0}^{k-1} \binom{k-1}{i} (-1)^i x^i \int_{0}^{+\infty} z^{k-1-i} e^{\frac{-z(\lambda + \gamma)}{\lambda \gamma}} dz$

Делаю замену $\frac{z(\lambda + \gamma)}{\lambda \gamma} = t$:
$f(x) = \frac{e^{-x/ \lambda}}{\lambda \gamma^k \Gamma(k)} \frac{\lambda \gamma}{\lambda + \gamma} \sum_{i=0}^{k-1} \binom{k-1}{i} (-1)^i x^i (\frac{\lambda \gamma}{\lambda + \gamma})^{k-1-i} \int_{0}^{+\infty} t^{k-1-i} e^{-t} dt$.

Собственно, да, похоже на гамма-функцию, только мешает лишний $t^{-i}$.

Я в верном направлении иду? Как бы мне расправиться с последним интегралом, свести его к приличной гамме-функции?

[Otta]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1209887 писал(а):

Как бы мне расправиться с последним интегралом, свести его к приличной гамме-функции?

А куда еще приводить? Это гамма-функция.

Ну или факториал от чего-то там. Одна малина, раз все целое.

[Anton.V.Bogachev]

Otta в сообщении #1209892 писал(а):

Anton.V.Bogachev в сообщении #1209887 писал(а):

Как бы мне расправиться с последним интегралом, свести его к приличной гамме-функции?

А куда еще приводить? Это гамма-функция.

$\int_{0}^{+\infty} t^{k-1-i} e^{-t} dt = \Gamma(k-i)$ - верно?
Что-то я сразу не понял этого.
Спасибо.
Очень помогли.

[Otta]

Верно. Получившееся выражение для плотности можно упростить, при желании или необходимости.

[ShMaxG]

Anton.V.Bogachev в сообщении #1209887 писал(а):

$f(x) = \frac{e^{-x/ \lambda}}{\lambda \gamma^k \Gamma(k)} \int_{-x}^{+\infty} t^{k-1} e^{\frac{-t(\lambda + \gamma)}{\lambda \gamma}} dt$ - было.

Делаю замену:

$f(x) = \frac{e^{-x/ \lambda}}{\lambda \gamma^k \Gamma(k)} \int_{0}^{+\infty} (z - x)^{k-1} e^{\frac{-z(\lambda + \gamma)}{\lambda \gamma}} dz$

Забыли там в экспоненте икс, $t\to z-x$.

[Anton.V.Bogachev]

Otta в сообщении #1209898 писал(а):

Верно. Получившееся выражение для плотности можно упростить, при желании или необходимости.

Кроме как сократить немного дробей $\frac{\lambda \gamma}{\lambda + \gamma}$, я не вижу больше ничего, что можно поупрощать, а хотелось бы, потому что совсем страшное выражение.(

ShMaxG в сообщении #1209899 писал(а):

Anton.V.Bogachev в сообщении #1209887 писал(а):

$f(x) = \frac{e^{-x/ \lambda}}{\lambda \gamma^k \Gamma(k)} \int_{-x}^{+\infty} t^{k-1} e^{\frac{-t(\lambda + \gamma)}{\lambda \gamma}} dt$ - было.

Делаю замену:

$f(x) = \frac{e^{-x/ \lambda}}{\lambda \gamma^k \Gamma(k)} \int_{0}^{+\infty} (z - x)^{k-1} e^{\frac{-z(\lambda + \gamma)}{\lambda \gamma}} dz$

Забыли там в экспоненте икс, $t\to z-x$.

Не, там перед интегралом еще экспонента стоит, с ней сокращается, хотя я и допустил ошибку, надо, чтобы было так:

$f(x) = \frac{e^{x/ \gamma}}{\lambda \gamma^k \Gamma(k)} \int_{0}^{+\infty} (z - x)^{k-1} e^{\frac{-z(\lambda + \gamma)}{\lambda \gamma}} dz$

-- 17.04.2017, 02:51 --

У меня тут внезапно возникли сомнения относительно правильности подсчета производной по параметру: а верно ли я посчитал? - может, там вообще что-нибудь простое выходит, типа экспоненты с константой, и не надо огород городить?

$P(\xi - \eta < x) = \frac{1}{\gamma^k \Gamma(k)} \int_{-x}^{\infty} t^{k-1} e^{-t/\gamma} (1 - e^{\frac{-x-t}{\lambda}}) dt$
$f(x) = \frac{e^{-x/ \lambda}}{\lambda \gamma^k \Gamma(k)} \int_{-x}^{\infty} t^{k-1} e^{\frac{-t(\lambda + \gamma)}{\lambda \gamma}} dt$

[Otta]

Ну вот как-то так при отрицательных $x$ (если не наврала при наборе):

$$ f(x)=\dfrac{\lambda^{k-1}}{(\gamma +\lambda)^k} e^{x/\gamma}\sum_{i=0}^{k-1}\dfrac{1}{i!}\left(-\dfrac {\gamma +\lambda}{\gamma \lambda}x\right)^i.$$

Оно бы получилось практически моментально, если заметить, что при любых допустимых $k$ (не только целых) и отрицательных $x$

$$ f(x)=\dfrac{\lambda^{k-1}}{(\gamma +\lambda)^k} e^{-x/\lambda}\cdot\dfrac{1}{\Gamma(k)}\cdot\Gamma\left(k, -\dfrac {\gamma +\lambda}{\gamma \lambda}x\right).$$

Для целых положительных $k$ далее можно использовать тождество $\Gamma(k,x)= (k-1)!\ e^{-x} \sum\limits_{i=0}^{k-1}\dfrac{x^i}{i!}$, которое Вы, по сути, и выводили самостоятельно.

-- 16.04.2017, 22:11 --

Anton.V.Bogachev в сообщении #1209928 писал(а):

может, там вообще что-нибудь простое выходит, типа экспоненты с константой, и не надо огород городить?

Не надейтесь. Экспонента Вам будет только при разности двух независимых показательных. То есть когда гамма - с параметром $k=1$.

-- 16.04.2017, 22:14 --

Anton.V.Bogachev
Вы так уверенно сомневаетесь. Чем это вызвано?
Почему Вы решили, что неполных гамм быть не должно? откуда сомнения в ответе и вообще во всем подряд?