Сумма модулей попарных разностей

[Ktina]

Даны три попарно различных целых неотрицательных числа.
Известно, что сумма модулей попарных разностей факториалов этих чисел также является факториалом целого неотрицательного числа.
Какие это могут быть числа? Найти все возможные варианты и доказать, что других нет.

[slavav]

$\left\lvert n_1! - n_2!\right\rvert + \left\lvert n_2! - n_3!\right\rvert + \left\lvert n_3! - n_1!\right\rvert = m!$ ?

[sergei1961]

попарно различных=различных?

[Ktina]

slavav
Так точно.

sergei1961
Попарно различных - это когда нет двух одинаковых.

[slavav]

Не умоляя общности положим $ n_1 > n_2 > n_3 $. Тогда можно снять модули:

$ n_1! - n_2! + n_2! - n_3! + n_1! - n_3! = m!$

$ 2(n_1! - n_3!) = m!$

Заметим что $n_1 \geqslant 2$, тогда
$ 2(n_1! - n_3!) > 2(n_1! - (n_1 - 1)!) = 2(n_1 - 1)(n_1 - 1)! \geqslant 2(n_1 - 1)! > (n_1 - 1)! $

В другую сторону:
$ 2(n_1! - n_3!) < 2n_1! < (n_1 + 1)!$

Следовательно $ n_1! = 2(n_1! - n_3!) $.

$ n_1! - 2n_3! = 0 $. Это равенство выполняется только для $n_1 = 2, n_2 = 1, n_3 = 0$. Подставляем, не подходит. Решений нет.

[Yadryara]

slavav в сообщении #1209359 писал(а):

Подставляем, не подходит. Решений нет.

Подходит. Посмотрите внимательнее, плиз. $0! = 1$.

[slavav]

Я ошибся, вы правы. Единственное решение: 2, 1, 0.

[Ktina]

slavav
Yadryara
Большое спасибо!