Поточечная сумма канторовых множеств

[ikozyrev]

Завис тут над задачкой: доказать что поточечная сумма канторовых множеств принадлежащих отрезку $[0,1]$ равна $[0,2]$.
Понятно что любое из чисел отрезка $[0,2]$ можно представить в виде троичной дроби вида $a_1,a_2a_3...a_n...$ где $a_i$ - это $0$, $1$ или $2$. Число же из канторового множества - тоже такая же троичная дробь, но $a_i$ - это $0$ или $2$. То есть надо доказать что любая троичная дробь может быть предствалена в виде суммы двух троичных дробей без 1 в их записях. Для одной единицы понятно - например если единица на втором месте после запятой - просто берем такую дробь без единицы и прибавляем $0,00222222222....$ что равносильно $0,01$. Теперь остается придумать такой способ для произвольного количества единиц на произвольных местах, и вот тут я что-то завис...

[svv]

Вот кусочек записи сложения столбиком двух бесконечных троичных дробей — чтобы пояснить обозначения. Здесь $a$ и $b$ — слагаемые, $c$ — carry (перенос), $s$ — sum. Нумерация разрядов, понятно, слева направо. Разряд целых единиц разумно нумеровать нулём.

$$\begin{array}{cccc}\ldots& c_{i-1}& c_i&\ldots \\\ldots&\ldots& a_i&\ldots \\\ldots&\ldots& b_i&\ldots \\ \hline\ldots&\ldots& s_i&\ldots\end{array}$$

Обычно сложение производится поразрядно «справа налево»: уже известные значения $c_i, a_i, b_i$ определяют $s_i$ и $c_{i-1}$:

$$\begin{array}{ccc|cc} c_i&a_i&b_i&s_i&c_{i-1} \\ \hline 0&0&0&0&0 \\ 1&0&0&1&0 \\ 0&0&2&2&0 \\ 1&0&2&0&1 \\ 0&2&2&1&1 \\ 1&2&2&2&1 \end{array} $$

В Вашем же случае попробуйте использовать таблицу для бесконечного процесса «слева направо»: уже имея $s_i, c_{i-1}$, однозначно получаем $c_i, a_i, b_i$.

[ikozyrev]

svv в сообщении #1208988 писал(а):

Вот кусочек записи сложения столбиком двух бесконечных троичных дробей — чтобы пояснить обозначения. Здесь $a$ и $b$ — слагаемые, $c$ — carry (перенос), $s$ — sum. Нумерация разрядов, понятно, слева направо. Разряд целых единиц разумно нумеровать нулём.

$$\begin{array}{cccc}\ldots& c_{i-1}& c_i&\ldots \\\ldots&\ldots& a_i&\ldots \\\ldots&\ldots& b_i&\ldots \\ \hline\ldots&\ldots& s_i&\ldots\end{array}$$

Обычно сложение производится поразрядно «справа налево»: уже известные значения $c_i, a_i, b_i$ определяют $s_i$ и $c_{i-1}$:

$$\begin{array}{ccc|cc} c_i&a_i&b_i&s_i&c_{i-1} \\ \hline 0&0&0&0&0 \\ 1&0&0&1&0 \\ 0&0&2&2&0 \\ 1&0&2&0&1 \\ 0&2&2&1&1 \\ 1&2&2&2&1 \end{array} $$

В Вашем же случае попробуйте использовать таблицу для бесконечного процесса «слева направо»: уже имея $s_i, c_{i-1}$, однозначно получаем $c_i, a_i, b_i$.

Спасибо!
Что-то подобное маячило в мозгу, но до самого окончательного решения не добрался :)