Разложение в ряд Маклорена по h

[Charlz_Klug]

Разложим в ряд Маклорена по $h$ функцию $f(x+h)$:
$f(x+h) = f(x) + \frac {f'(x)} {1!} h + \frac {f''(x)} {2!} h^2 + \frac {f'''(x)} {3!} h^3 + \frac {f^{IV}(x)} {4!} h^4 + ... + \frac {f^{(n)}(x)} {n!} h^n + ...$
А по моему получается
$f(x+h) = f(x) + \frac {f'(x)} {1!} (x+h) + \frac {f''(x)} {2!} (x+h)^2 + \frac {f'''(x)} {3!} (x+h)^3 + \frac {f^{IV}(x)} {4!} (x+h)^4 + ... + \frac {f^{(n)}(x)} {n!} (x+h)^n + ...$
Объясните, пожалуйста, почему второй вариант неправильный.

[svv]

Если $h=0$, то точки $x$ и $x+h$ совпадают, и $f(x+h)=f(x)$. Верхняя формула это очевидным образом обеспечивает (члены с производными обращаются в нуль), а нижняя нет.

[Charlz_Klug]

Понял. Если при $f(x)$ было $x-x_0$, то при $f(x+h)$ по $h$ следует $x+h - (x-h_0)$, где $h_0 = 0$ из-за Маклорена. Тогда $x+h-(x-h_0) = x+ h - (x-0) = x+h-x = h$. В этом случае, действительно, правильный вариант --- первый.

-- 10.04.2017, 23:50 --

svv, спасибо!