Фермионный пропагатор и знак минус

[Ascold]

В книгах, которые попадались мне, данный фейнмановский пропагатор определяют как

$$\langle 0|\psi(x)\bar{\psi}(y)|0\rangle,$$

если $x^0>y^0$ и

$$-\langle 0|\bar{\psi}(y)\psi(x)|0\rangle,$$

если $x^0<y^0.$
Далее обычно следует написание его в виде интерала по 4-импульсу и т.д. Раньше мне этот минус во втором выражении казался очевидным: антикоммутируют же фермионы. Но теперь я задумался - мы же не меняем местами поля явно, мы, так сказать, даём определение. Кроме того, спинор $\psi$ - это столбец, а $\bar{\psi}$ - строка, если применять правила матричного умножения, то получается бессмыслица - в первом случае произвдение будет матрицей, во втором - однокомпонентным выражением. Пескин и Шредер игнорируют матричные правила, умножая просто поэлементно, см. (3.115), но в то же время пишут в матричном(?) виде общее выражение (4.105).
В общем, я с этим всем запутался, поэтому буду признателен, если кто-нибудь мне объяснит, зачем в фейнмановском пропагаторе при $x^0<y^0$ стоит минус, и как правильно интерпретировать описанные выше умножения.

[Ascold]

Ещё подумалось: $\bar{\psi}$ мы используем вместо $\psi^\dagger$ во имя лоренц-инвариантности? Интуитивно кажется, что проще определить амплитуду перехода из $x$ в $y$ как

$$\langle 0|\psi(y)\bar{\psi}(x)|0\rangle,$$

а не

$$\langle 0|\bar{\psi}(y)\psi(x)|0\rangle,$$

почему в книгах не так?
С другой стороны, я привык к тому, что в обычной КМ амплитуда перехода - это число, а здесь получается оператор, что как-то затуманивает его смысл как амплитуды перехода в вероятностном понимании.

[Ascold]

warlock66613 в сообщении #1207597 писал(а):

Подозреваю, что потому что предложенное вами выражение тождественно равно нулю.

Да, не заметил сразу - точно ноль. Но всё равно тогда остаётся вопрос - вот, следуя Пескину и Шредеру, мы вводим такие амплитуды перехода, они - матрицы 4 на 4. Какой в них смысл? Вот для скалярного поля $|\langle 0|\varphi(y)\varphi(x)|0\rangle|^2$ даст нам вероятность перехода бозона из $x$ в $y$, а как найти такую же вероятность для фермиона, не матрицу же в квадрат возводить?

[warlock66613]

Ascold в сообщении #1207614 писал(а):

Да, не заметил сразу - точно ноль.

Да? А я вот не уверен (потому и удалил сообщение).

[Ascold]

warlock66613 в сообщении #1207615 писал(а):

Да? А я вот не уверен

ну, почему, - опуская интегралы и коэффициенты, получим, грубо говоря, произведение $(a^\dagger+b)(a+b^\dagger )$ - выживают только $bb^\dagger$ - хотя, точно не ноль...

[warlock66613]

Ascold в сообщении #1207614 писал(а):

Какой в них смысл?

Это 16 амплитуд перехода: из четырёх возможных начальных "спиновых" состояний в такие же четыре конечных — ведь полное состояние дираковского фермиона определяется не только местоположением, но и нахождением в одном из четырёх внутренних состояний (условно говоря "электрон, спин вверх", "электрон, спин вниз", "позитрон, спин вверх", "позитрон, спин вниз").

[Ascold]

Благодарю, теперь ясно.
Предложенная мной амплитуда всё-таки не ноль, - почему же делают не так? Хотя, м.б. это одинаковые выражения, они ж пишутся не вообще, а поэлементно, надо глянуть с учётом матрицы $\gamma^0$.

[Ascold]

В общем, такое странное определение амплитуд перехода связано исключительно со знаком, легко можно увидеть, что моё предложение для пропагатора эквивалентно (3.115) (знак минус в (3.115) компенсируется минусом в (3.121)).

[warlock66613]

Рад, что вы разобрались.

[Ascold]

Кстати, знак минус в определении (3.121) можно ввести, оказывается(вычитал у Тонга раздел 5.5), ещё из требований причинности, антикоммутации и рел. инвариантности - без минуса не получится исчезающего при произволе упорядочивания по времени на пространственноподобном интервале антикоммутатора.

warlock66613 в сообщении #1207622 писал(а):

16 амплитуд перехода: из четырёх возможных начальных "спиновых" состояний в такие же четыре конечных — ведь полное состояние дираковского фермиона определяется не только местоположением, но и нахождением в одном из четырёх внутренних состояний (условно говоря "электрон, спин вверх", "электрон, спин вниз", "позитрон, спин вверх", "позитрон, спин вниз").

Я внимательно подумал об этом в свете формул(3.114-3.115) и (3.121) Пескина и Шредера и озадачился. Поскольку

$$\psi(x)=\int\frac{d^3p}{\sqrt{(2\pi)^3}}\sum_s(a_s(\mathbf{p})u_p^se^{-ipx}+b_s^\dagger(\mathbf{p})v_p^se^{ipx}),$$

$$\bar{\psi}(x)=\int\frac{d^3q}{\sqrt{(2\pi)^3}}\sum_r(a_r^\dagger(\mathbf{q})\bar{u}_q^re^{iqy}+b_r(\mathbf{q})\bar{v}_q^re^{-iqy})$$

и принято, что $a^\dagger$ рождает электрон, а $b^\dagger$ - позитрон, то какие бы компоненты $\mu$, $\nu$ мы ни взяли, амплитуда

$$\langle 0|\psi_\mu(x)\bar{\psi}_\nu(y)|0\rangle$$

соответствует распространению электрона из $y$ в $x$, а амплитуда

$$\langle 0|\bar{\psi}_\nu(y)\psi_\mu(x)|0\rangle - $$

переходу позитрона из $x$ в $y$, при этом информация о спине стирается, поскольку по переменным $s$ и $r$ при вычислении амплитуд происходит суммирование.
Мне кажется, что компоненты пропагатора при таком определении (3.121) охватывают лишь переходы электрона или позитрона из начального в конечное положение, не сообщая ничего о спине.
Получается, что при $x^0>y^0$, например, все 16 компонент $S_{\mu\nu}(x-y)$ соответствуют переходу электрона из $y$ в $x$.
Чего я не вижу?

[Munin]

В формулах с интегралами индексов $\mu,\nu$ вообще нет. А если их туда дописать?

[Ascold]

Это номера строки/столбца спиноров. Будет

$$\psi_\mu(x)=\int\frac{d^3p}{\sqrt{(2\pi)^32E_p}}\sum_s(a_s(\mathbf{p})u_{\mathbf{p}\mu}^se^{-ipx}+b_s^\dagger(\mathbf{p})v_{\mathbf{p}\mu}^se^{ipx}),$$

$$\bar{\psi}_\nu(x)=\int\frac{d^3q}{\sqrt{(2\pi)^32E_q}}\sum_r(a_r^\dagger(\mathbf{q})\bar{u}_{\mathbf{q}\nu}^re^{iqy}+b_r(\mathbf{q})\bar{v}_{\mathbf{q}\nu}^re^{-iqy})$$

[Munin]

Ascold в сообщении #1209186 писал(а):

Это номера строки/столбца спиноров.

То есть, информацию о спине они-таки несут?

[Ascold]

Сами поля несут. В пределах одного поля $\psi$ каждый компонент $\psi_\mu$ состоит из суммы по спиновой перменной двух компонент, пропорциональной $u_{\mathbf{p}\mu}^1+u_{\mathbf{p}\mu}^2.$ Это суммирование в совокупности с конкретным видом спинора $u$ и даёт нам требуемый спин. Но как тогда понимать отсутствие информации о нём в итоговой формуле (3.114)? Информация о начальной и конечной координатах там есть, а спиновые переменные свернулись-сложились, меня это напрягает.

[warlock66613]

Ascold в сообщении #1209176 писал(а):

при этом информация о спине стирается, поскольку по переменным $s$ и $r$ при вычислении амплитуд происходит суммирование.

А по импульсу — интегрирование. Но это же не проблема, потому что вместо импульса появилась координата. И точно так же вместо спиновых переменных появилась "дискретная координата" $\mu$.