Бардушкин, Кожухов, Прокофьев, Фадеичева № 2.34

[Sinoid]

Здравствуйте! Задача:

Но, позвольте, $p_{1}=2$, $p_{1}\leq2\cdot1$; $p_{2}=3$, $p_{2}\leq2\cdot2$; $p_{3}=3$, $p_{3}\leq2\cdot3$ и т. д. Да и идея доказательства говорит, что знак неравенства поставлен не тот. Скажите, пожалуйста, это я плохо выспался или в книге опечатка?

[mihailm]

Знак тот, ограничение надо добавить

[Brukvalub]

Если $n$-е простое число будет не больше, чем $2n$ , то каждое нечетное число будет вынуждено быть простым. Беда будет...

[Poweball]

$p_3=5 $
неравенство выполняется при:
$ n \ge 5$

[Sinoid]

Poweball в сообщении #1207089 писал(а):

$p_3=5 $

Писал через копи-паста, как ни следил, все-таки ошибся. А вообще, да, утверждение задачи доказывается индукцией и дело в том, что при $n=5$ неравенство выполнилось. Попытка же доказать, что $p_{n}\leqslant2n$ индукцией рассыпалась бы на индукционном шаге: ну написал бы я $p_{n+1}\geqslant p_{n}+2$, откуда бы следовало $p_{n}\leqslant p_{n+1}-2$. И что дальше? Да, ерунду сморозил . Спасибо всем за помощь.

[Sinoid]

mihailm в сообщении #1207073 писал(а):

Знак тот, ограничение надо добавить

Пришло в голову. Все-таки

Poweball в сообщении #1207089 писал(а):

при:
$ n \ge 5$

неравенство будет строгим, так что знак все-таки не тот.