ДУ в полных дифференциалах при трёх переменных

[lituskirill]

Правильный ли ход решения такого уравнения, в случае если левая его часть есть полный дифференциал некоторой функции U?
${{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx+{{Q}_{2}}\left( x;y;z \right)dy+{{Q}_{3}}\left( x;y;z \right)dz=0$

$dU\left( x;y;z \right)=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy+\frac{\partial U}{\partial z}dz$

$\frac{\partial U}{\partial x}dx={{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx$, $\frac{\partial U}{\partial y}dy={{Q}_{2}}\left( x;y;z \right)dy$, $\frac{\partial U}{\partial z}dz={{Q}_{3}}\left( x;y;z \right)dz$

Могу ли я здесь так же как и в случае двух переменных x, y прибавлять некую неизвестную функцию от третьей переменной, в данном случае $\varphi \left( z \right)$? И почему? (в учебнике почему то этот вопрос не освещается, а пишется просто, что прибавляется неизвестная функция и всё, а почему не написано)
$U=\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx}+{{\varphi }_{1}}\left( y \right)+{{\varphi }_{2}}\left( z \right)$

Если всё таки так сделать можно, то продолжу, хотя вопрос заключался именно в прибавлении второй неизвестной функции.
$1)\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx}+\frac{d{{\varphi }_{1}}\left( y \right)}{dy}+0$

${{Q}_{2}}\left( x;y;z \right)=\frac{\partial }{\partial y}\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx}+\frac{d{{\varphi }_{1}}\left( y \right)}{dy}$

${{\varphi }_{1}}\left( y \right)=\int{{{Q}_{2}}\left( x;y;z \right)dy}-\int{\left[ \frac{\partial }{\partial y}\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx} \right]dy}+c$

$2)\frac{\partial U}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx}+0+\frac{d{{\varphi }_{2}}\left( z \right)}{dz}$

${{Q}_{3}}\left( x;y;z \right)=\frac{\partial }{\partial z}\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx}+\frac{d{{\varphi }_{2}}\left( z \right)}{dz}$

${{\varphi }_{2}}\left( z \right)=\int{{{Q}_{3}}\left( x;y;z \right)dz}-\int{\left[ \frac{\partial }{\partial z}\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx} \right]dz}+c$

$U\left( x;y;z \right)=\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx}+\int{{{Q}_{2}}\left( x;y;z \right)dy}-\int{\left[ \frac{\partial }{\partial y}\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx} \right]dy}+$
$+\int{{{Q}_{3}}\left( x;y;z \right)dz}-\int{\left[ \frac{\partial }{\partial z}\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx} \right]dz}$

$\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx}+\int{{{Q}_{2}}\left( x;y;z \right)dy}-\int{\left[ \frac{\partial }{\partial y}\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx} \right]dy}+$
$+\int{{{Q}_{3}}\left( x;y;z \right)dz}-\int{\left[ \frac{\partial }{\partial z}\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx} \right]dz}=\tilde{C}$

[Metford]

lituskirill в сообщении #1206304 писал(а):

(в учебнике почему то этот вопрос не освещается, а пишется просто, что прибавляется неизвестная функция и всё, а почему не написано)

Почему не рассматривается? Рассматривается - в теме о независимости криволинейного интеграла второго рода от контура. Это как раз тот самый случай. Так как подынтегральная функция есть полный дифференциал, то берёте две точки $(x_0,y_0,z_0)$ и $(x,y,z)$, соединяете их контуром из трёх звеньев: вдоль оси абсцисс, вдоль оси ординат и вдоль оси аппликат (он самый простой, а от его формы ничего не зависит). Вычисляете интеграл - получите разность значений искомой функции в конечной и начальной точках контура. Начальное значение - просто константа. Так обычно делают.

[Brukvalub]

lituskirill в сообщении #1206304 писал(а):

Могу ли я здесь так же как и в случае двух переменных x, y прибавлять некую неизвестную функцию от третьей переменной, в данном случае $\varphi \left( z \right)$? И почему? (в учебнике почему то этот вопрос не освещается, а пишется просто, что прибавляется неизвестная функция и всё, а почему не написано)
$U=\int{{{Q}_{1}}\left( x;y;z \right)dx}+{{\varphi }_{1}}\left( y \right)+{{\varphi }_{2}}\left( z \right)$

Нет, так получится не всегда. Нужно прибавлять функцию от всех переменных кроме той, по которой бралась частная производная.