последовательность

[RLVV]

Известно, что $a_0=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$ и $a_{n+1}=\frac{a_{n}^2-5}{2(a_{n}+2)}$ для всех натуральных $n$.Докажите , что $a_n=\cot(\frac{2^{n-3}\pi }{3})-2$

[ewert]

Как только попытаешься проверить индукционный переход -- так сразу всё автоматически получается. База же индукции -- $\ctg\frac{\pi}{24}=2+\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6=\left(\sqrt3+\sqrt2\right)\left(\sqrt2+1\right)$ -- проверяется немного зануднее, но тоже достаточно быстро двукратным применением формулы для котангенса двойного аргумента.

[RLVV]

Спасибо за подсказку, пишите пожалуйста полное решение

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.