шахматы ММО 2017

[daogiauvang]

В шахматном турнире каждый участник встретился с каждым один раз. В каждом туре каждый участник проводил по одной встрече. Не меньше чем в половине всех встреч оба участника были земляками (из одного города). Докажите, что в каждом туре была хотя бы одна встреча между земляками.
______________
Условия задач 2017 есть на сайте ММО. (Данная задача № 2, 9 класс.) / GAA

[12d3]

Докажем от противного. Пусть в некотором туре во всех играх играли не земляки. Пусть всего $2n$ игроков. Значит, у каждого конкретного игрока его оппонент в этом туре - не земляк, а в остальных $n-1$ парах играющих как минимум один - не земляк. Итого, у каждого игрока минимум $n$ не земляков, и соответственно, максимум $n-1$ земляков. Значит, каждый игрок сыграл с земляками меньше половины матчей, и просуммировав по всем игрокам, получим, что всего сыграно менее половины матчей между земляками, что противоречит условию.