Равно ли произведение всех ненулевых чисел -1?

[Ktina]

Равно ли произведение всех ненулевых вещественных чисел минус единице?
Ведь все эти числа можно разбить на пары следующим образом:
Первую пару образуют числа 1 и -1, а далее, для каждого $a\in\mathbb{R}$ подбираем пару $\dfrac{1}{a}$
Таким образом, в каждой паре, кроме первой, произведение равно 1, а в первой паре оно равно -1, следовательно утверждение, вынесенное в заголовок, верно.

Где здесь ошибка?

[g______d]

Ktina в сообщении #1204495 писал(а):

Где здесь ошибка?

В слове "следовательно".

[Ktina]

g______d
Почему?

[mihaild]

Как связано "произведение всех вещественных чисел" и произведения указанных пар? (и что вообще такое "произведение несчетного множества чисел"?)

[Ktina]

mihaild в сообщении #1204505 писал(а):

(и что вообще такое "произведение несчетного множества чисел"?)

Эта трудность устранима, можно взять не вещественные, а рациональные ненулевые числа, тогда их будет счётное количество.

[kp9r4d]

Ktina
Произведение, даже счётного количества, может зависеть от порядка, в котором вы это счётное количество предъявляете и перегруппировка скобок тоже операция не безопасная.

[Brukvalub]

Ktina в сообщении #1204495 писал(а):

Ведь все эти числа можно разбить на пары следующим образом:
Первую пару образуют числа 1 и -1, а далее, для каждого $a\in\mathbb{R}$ подбираем пару $\dfrac{1}{a}$

А если брать в пары $a\in\mathbb{R}$ и $\dfrac{2}{a}$?

[svv]

Ktina
Я решил объединять в пары числа $a$ и $-a$ (кроме нуля). Их произведение отрицательно. Теперь бы перемножить все эти произведения.
Мне бы хотя бы выяснить знак результата — интересно же. Знак зависит от того, чётно или нечётно количество всех пар. Вот тут у меня загвоздка.

[atlakatl]

Из вещества Вселенной - представим, что она бесконечна - всегда можно слепить маленькую свистульку. Следовательно, наш Мир это большая куча свистулек.

[sergei1961]

На самом деле, как я понимаю, вопрос в отсутствии корректного определения результата арифметических операций для несчётного количества чисел (несчётное=НЕ СЧЁТНОЕ и не конечное). А вопрос интересный, спасибо, есть над чем подумать. Или такие определения есть?
Для рациональных - отдельный вопрос.

[gris]

Можно потренироваться на нахождении суммы всех целых чисел методом перестановок и группировок. Ноль получить "можно", а единичку?

[crazy_taxi_driver]

Я полузнайка.

Беря exp от членов (обычного) ряда, можно записать его как произведение членов, стремящихся к 1. Ktina, у соответствующего ряда (беря log от произведения) члены не стремятся к 0. Даже для условно-сход. ряда (нормального, из классического матана), переставляя порядок, можно получить любую сумму. А тут совсем всё плохо. Так чего удивляться "парадоксам"? :)

sergei1961 в сообщении #1204723 писал(а):

Или такие определения есть?

Для счётных (ряды), видел разные подходы в книжке Харди, "Расходящиеся ряды" (в начале - выглядит будто автор шутит). Книжка древняя.

(я каждый раз надеюсь что не лажу пишу.. извините если опять..)

[mihaild]

gris, $1+(-1 + -2 + 0 + 3) + (-3 + -4 + 2 + 5) + (-5 + -6 + 4 + 7) + \ldots)$.
Какую сумму дальше? Или сразу произвольное множество предельных точек?)

sergei1961, с абсолютной сходимостью точно ничего интересного не будет. С условной - надо, наверное, брать функцию не на $\omega$ (последовательность), а на произвольном ординале. Но там наверное все плохо будет с пределами...