в кватернионах это куда яснее записывается как

Притом

и

у вас в посте явно откуда-то оттуда, т. к. это именно что скалярная и векторная компоненты кватерниона

, определённого здесь.
Параметры Родрига-Гамильтона -- это
по определению и есть координаты кватерниона. Это преобразование

называется присоединенным отображением, оно сохраняет скалярную часть кватерниона (в данном случае она равна нулю), а векторную преобразует линейно, причем оператор линейного преобразования является ортогональным. Короче говоря, можно писать

с пока неизвестной матрицей

, далее вычислить в общем виде два кватернионных произведения, приняв

, получится некое выражение с иксом (вот тут появляются скалярные и векторные произведения), которое надо преобразовать к виду

. Тогда

и будет искомой матрицей, она будет выражена в терминах направления

, вокруг которого осуществляется поворот, и угла

, на который осуществляется поворот. А потом подставить выражения для

и

в терминах координат кватерниона

(они же -- параметры Родрига-Гамильтона), вот и все.
Это к вопросу о том, откуда первоначально следуют эти формулы:
Не пойму как она получается, почему такая запись в правой части выражения?
Если не хотите связываться с кватернионным умножением, но при этом можете пользоваться формулой
![$\mathbf{r}=(\mathbf{x}\cdot \mathbf{e})\mathbf{e}+[\mathbf{e},\mathbf{x}] \sin \varphi + [[\mathbf{e},\mathbf{x}], \mathbf{e}] \cos \varphi = \mathbf{x} + 2q_0[\mathbf{q},\mathbf{x}] + 2 [\mathbf{q}, [\mathbf{q},\mathbf{x}]]$ $\mathbf{r}=(\mathbf{x}\cdot \mathbf{e})\mathbf{e}+[\mathbf{e},\mathbf{x}] \sin \varphi + [[\mathbf{e},\mathbf{x}], \mathbf{e}] \cos \varphi = \mathbf{x} + 2q_0[\mathbf{q},\mathbf{x}] + 2 [\mathbf{q}, [\mathbf{q},\mathbf{x}]]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/c/aac9dd1fd29d47979936d4ba3c07e17c82.png)
,
то, как уже сказали, подставляйте сюда поочередно

,

и

, получайте свои

,

,

. А затем в полученное выражение подставьте

и вспомните, чему равны попарные скалярные произведения базисных векторов и чему равны попарные векторные произведения. В результате вы получите выражение с иксом и числами

, это выражение нужно представить в форме

. Тогда

-- это ваша искомая матрица
